बिंदु $P(16, 7)$ से वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$ पर दो स्पर्श रेखाएँ $PQ$ और $PR$ खींची गई हैं। यदि वृत्त का केंद्र $C$ है,तो चतुर्भुज $PQCR$ का क्षेत्रफल ............ $sq. \text{ units}$ होगा।

यदि बिंदु $(1, 4)$ वृत्त $x^2 + y^2 - 6x - 10y + p = 0$ के अंदर स्थित है और वृत्त निर्देशांक अक्षों को स्पर्श या प्रतिच्छेद नहीं करता है,तो $p$ के सभी संभावित मानों का समुच्चय कौन सा अंतराल है?

परवलय $y^2=8x$ और वृत्त $x^2+y^2=2$ की उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण $ax+by+2=0$ है। यदि $-\frac{a}{b} > 0$,तो $3a^2+2b+1=$

वृत्त $x^2 + y^2 - 12x - 4y + 30 = 0$ पर स्थित वह बिंदु जो मूल बिंदु (origin) से सबसे दूर है,उसके निर्देशांक क्या हैं?

वृत्त $C_1: x^2+y^2=3$,जिसका केंद्र $O$ है,परवलय $x^2=2y$ को प्रथम चतुर्थांश में बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करता है। मान लीजिए कि $P$ पर वृत्त $C_1$ की स्पर्श रेखा अन्य दो वृत्तों $C_2$ और $C_3$ को क्रमशः $R_2$ और $R_3$ पर स्पर्श करती है। मान लीजिए कि $C_2$ और $C_3$ की त्रिज्याएँ समान $2\sqrt{3}$ हैं और केंद्र क्रमशः $Q_2$ और $Q_3$ हैं। यदि $Q_2$ और $Q_3$ $y$-अक्ष पर स्थित हैं,तो:
$(A)$ $Q_2Q_3=12$
$(B)$ $R_2R_3=4\sqrt{6}$
$(C)$ त्रिभुज $OR_2R_3$ का क्षेत्रफल $6\sqrt{2}$ है
$(D)$ त्रिभुज $PQ_2Q_3$ का क्षेत्रफल $4\sqrt{2}$ है

$2$ त्रिज्या वाला एक वृत्त $C$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है और दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है। मान लीजिए कि $r$ उस वृत्त की त्रिज्या है जिसका केंद्र $(2, 5)$ बिंदु पर है और जो वृत्त $C$ को ठीक दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है। यदि $r$ के सभी संभावित मानों का समुच्चय अंतराल $(\alpha, \beta)$ है,तो $3 \beta - 2 \alpha$ का मान ज्ञात कीजिए: