યુક્લિડની ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને દર્શાવો કે કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો ઘન $9m, 9m+1$ અથવા $9m+8$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(N/A) ધારો કે $a$ કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક છે અને $b=3$ છે.
યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,$a = 3q + r$,જ્યાં $q \geq 0$ અને $0 \leq r < 3$ છે.
તેથી,$a$ એ $3q, 3q+1$ અથવા $3q+2$ સ્વરૂપમાં હોઈ શકે છે.
કિસ્સો $1$: જો $a = 3q$ હોય,તો $a^3 = (3q)^3 = 27q^3 = 9(3q^3) = 9m$,જ્યાં $m = 3q^3$ છે.
કિસ્સો $2$: જો $a = 3q+1$ હોય,તો $a^3 = (3q+1)^3 = 27q^3 + 27q^2 + 9q + 1 = 9(3q^3 + 3q^2 + q) + 1 = 9m + 1$,જ્યાં $m = 3q^3 + 3q^2 + q$ છે.
કિસ્સો $3$: જો $a = 3q+2$ હોય,તો $a^3 = (3q+2)^3 = 27q^3 + 54q^2 + 36q + 8 = 9(3q^3 + 6q^2 + 4q) + 8 = 9m + 8$,જ્યાં $m = 3q^3 + 6q^2 + 4q$ છે.
આમ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો ઘન $9m, 9m+1$ અથવા $9m+8$ સ્વરૂપમાં હોય છે.