सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{ccc}3 a & -a+b & -a+c \\ -b+a & 3 b & -b+c \\ -c+a & -c+b & 3 c\end{array}\right|=3(a+b+c)(a b+b c+c a)$
$\left|\begin{array}{ccc}3 a & -a+b & -a+c \\ -b+a & 3 b & -b+c \\ -c+a & -c+b & 3 c\end{array}\right|=3(a+b+c)(a b+b c+c a)$
(A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}3 a & -a+b & -a+c \\ -b+a & 3 b & -b+c \\ -c+a & -c+b & 3 c\end{array}\right|$.
$C_{1} \rightarrow C_{1}+C_{2}+C_{3}$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a+b+c & -a+b & -a+c \\ a+b+c & 3 b & -b+c \\ a+b+c & -c+b & 3 c\end{array}\right|$.
$C_{1}$ से $(a+b+c)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & -a+b & -a+c \\ 1 & 3 b & -b+c \\ 1 & -c+b & 3 c\end{array}\right|$.
$R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{1}$ और $R_{3} \rightarrow R_{3}-R_{1}$ लागू करने पर:
$\Delta = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & -a+b & -a+c \\ 0 & 2 b+a & a-b \\ 0 & a-c & 2 c+a\end{array}\right|$.
$C_{1}$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (a+b+c) [ (2 b+a)(2 c+a) - (a-b)(a-c) ]$.
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$= (a+b+c) [ (4bc + 2ab + 2ac + a^2) - (a^2 - ac - ab + bc) ]$
$= (a+b+c) [ 4bc + 2ab + 2ac + a^2 - a^2 + ac + ab - bc ]$
$= (a+b+c) [ 3ab + 3bc + 3ac ]$
$= 3(a+b+c)(ab + bc + ca)$.
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।
$C_{1} \rightarrow C_{1}+C_{2}+C_{3}$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a+b+c & -a+b & -a+c \\ a+b+c & 3 b & -b+c \\ a+b+c & -c+b & 3 c\end{array}\right|$.
$C_{1}$ से $(a+b+c)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & -a+b & -a+c \\ 1 & 3 b & -b+c \\ 1 & -c+b & 3 c\end{array}\right|$.
$R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{1}$ और $R_{3} \rightarrow R_{3}-R_{1}$ लागू करने पर:
$\Delta = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & -a+b & -a+c \\ 0 & 2 b+a & a-b \\ 0 & a-c & 2 c+a\end{array}\right|$.
$C_{1}$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (a+b+c) [ (2 b+a)(2 c+a) - (a-b)(a-c) ]$.
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$= (a+b+c) [ (4bc + 2ab + 2ac + a^2) - (a^2 - ac - ab + bc) ]$
$= (a+b+c) [ 4bc + 2ab + 2ac + a^2 - a^2 + ac + ab - bc ]$
$= (a+b+c) [ 3ab + 3bc + 3ac ]$
$= 3(a+b+c)(ab + bc + ca)$.
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।
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सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & y z \\ y & y^{2} & z x \\ z & z^{2} & x y\end{array}\right|=(x-y)(y-z)(z-x)(x y+y z+z x)$
$\left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & y z \\ y & y^{2} & z x \\ z & z^{2} & x y\end{array}\right|=(x-y)(y-z)(z-x)(x y+y z+z x)$
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View Solutionबिना विस्तार किए सिद्ध कीजिए कि $\Delta = \begin{vmatrix} x+y & y+z & z+x \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$.
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View Solutionयदि $D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$ और $D' = \begin{vmatrix} a_1 + pb_1 & b_1 + qc_1 & c_1 + ra_1 \\ a_2 + pb_2 & b_2 + qc_2 & c_2 + ra_2 \\ a_3 + pb_3 & b_3 + qc_3 & c_3 + ra_3 \end{vmatrix}$ है,तो:
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शून्यतर $a, b, c$ के लिए,यदि $\Delta = \begin{vmatrix} 1 + a & 1 & 1 \\ 1 & 1 + b & 1 \\ 1 & 1 & 1 + c \end{vmatrix} = 0$ है,तो $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ का मान =
Difficult
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