सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि:
$\left| \begin{array}{ccc} \sin \alpha & \cos \alpha & \cos (\alpha + \delta) \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos (\beta + \delta) \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos (\gamma + \delta) \end{array} \right| = 0$

(A) माना सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \sin \alpha & \cos \alpha & \cos (\alpha + \delta) \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos (\beta + \delta) \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos (\gamma + \delta) \end{array} \right|$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करके तीसरे स्तंभ का विस्तार करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \cos \delta - \sin \alpha \sin \delta \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos \beta \cos \delta - \sin \beta \sin \delta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos \gamma \cos \delta - \sin \gamma \sin \delta \end{array} \right|$.
स्तंभ संक्रिया $C_3 \rightarrow C_3 + (\sin \delta) C_1$ लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \cos \delta \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos \beta \cos \delta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos \gamma \cos \delta \end{array} \right|$.
अब,$C_3$ से $\cos \delta$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$\Delta = \cos \delta \left| \begin{array}{ccc} \sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos \beta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos \gamma \end{array} \right|$.
यहाँ स्तंभ $C_2$ और $C_3$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
$\Delta = \cos \delta \times 0 = 0$.
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।