सदिशों का उपयोग करके,$A(1, 2, 3)$,$B(2, -1, 4)$ और $C(4, 5, -1)$ शीर्षों वाले त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

(N/A) शीर्षों के स्थिति सदिश $\vec{A} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{B} = 2\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$,और $\vec{C} = 4\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ ज्ञात करते हैं:
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (2-1)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (4-3)\hat{k} = \hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (4-1)\hat{i} + (5-2)\hat{j} + (-1-3)\hat{k} = 3\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$
अब,सदिश गुणनफल $\vec{AB} \times \vec{AC}$ की गणना करें:
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 1 \\ 3 & 3 & -4 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-3)(-4) - (1)(3)) - \hat{j}((1)(-4) - (1)(3)) + \hat{k}((1)(3) - (-3)(3))$
$= \hat{i}(12 - 3) - \hat{j}(-4 - 3) + \hat{k}(3 + 9)$
$= 9\hat{i} + 7\hat{j} + 12\hat{k}$
इसके बाद,सदिश गुणनफल का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{9^2 + 7^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 49 + 144} = \sqrt{274}$
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ द्वारा दिया जाता है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \sqrt{274} \text{ वर्ग इकाई}$.