$r$ ની કઈ કિંમત માટે $^{15}C_{r + 3} = {}^{15}C_{2r - 6}$ થાય?

$MEDITERRANEAN$ શબ્દના અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને કેટલા અલગ-અલગ ચાર અક્ષરના શબ્દો બનાવી શકાય (શબ્દો અર્થપૂર્ણ હોવા જરૂરી નથી) કે જેથી પ્રથમ અક્ષર $E$ અને છેલ્લો અક્ષર $R$ હોય?

અંગ્રેજી મૂળાક્ષરોના $10$ અલગ-અલગ અક્ષરો આપેલા છે. આ અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને $5$ અક્ષરોના શબ્દો બનાવવામાં આવે છે. જો ઓછામાં ઓછો એક અક્ષર પુનરાવર્તિત થાય,તો કેટલા શબ્દો બનાવી શકાય?

$7$ પુરુષો અને $6$ સ્ત્રીઓના જૂથમાંથી,એક સમિતિ બનાવવા માટે પાંચ વ્યક્તિઓની પસંદગી કરવાની છે જેથી સમિતિમાં ઓછામાં ઓછા $3$ પુરુષો હોય. આ કેટલા પ્રકારે કરી શકાય?

$16$ ખેલાડીઓમાંથી $11$ ખેલાડીઓની ક્રિકેટ ટીમ કેટલી રીતે પસંદ કરી શકાય જો $1$ ચોક્કસ ખેલાડીને બાકાત રાખવાનો હોય?

એક ચોક્કસ કસોટીમાં $n$ પ્રશ્નો છે. કસોટીમાં $2^{n-i}$ વિદ્યાર્થીઓએ ઓછામાં ઓછા $i$ પ્રશ્નોના ખોટા જવાબ આપ્યા છે,જ્યાં $i = 1, 2, \dots, n$. જો કુલ ખોટા જવાબોની સંખ્યા $2047$ હોય,તો $n$ બરાબર કેટલા થાય?