ચકાસો કે આપેલ વિધેય $y - \cos y = x$ એ વિકલ સમીકરણ $(y \sin y + \cos y + x) y' = y$ નો ઉકેલ છે.
(N/A) આપેલ સમીકરણ: $y - \cos y = x$ ..........$(1)$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(y) - \frac{d}{dx}(\cos y) = \frac{d}{dx}(x)$
$y' - (-\sin y) y' = 1$
$y'(1 + \sin y) = 1$
$y' = \frac{1}{1 + \sin y}$ ..........$(2)$
હવે,વિકલ સમીકરણની ડાબી બાજુ $(L.H.S.)$ ધ્યાનમાં લો:
$L.H.S. = (y \sin y + \cos y + x) y'$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $x = y - \cos y$ ની કિંમત મૂકતા:
$L.H.S. = (y \sin y + \cos y + y - \cos y) y'$
$L.H.S. = (y \sin y + y) y'$
$L.H.S. = y(1 + \sin y) y'$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $y'$ ની કિંમત મૂકતા:
$L.H.S. = y(1 + \sin y) \cdot \frac{1}{1 + \sin y}$
$L.H.S. = y = R.H.S.$
આમ,$L.H.S. = R.H.S.$ હોવાથી,આપેલ વિધેય એ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(y) - \frac{d}{dx}(\cos y) = \frac{d}{dx}(x)$
$y' - (-\sin y) y' = 1$
$y'(1 + \sin y) = 1$
$y' = \frac{1}{1 + \sin y}$ ..........$(2)$
હવે,વિકલ સમીકરણની ડાબી બાજુ $(L.H.S.)$ ધ્યાનમાં લો:
$L.H.S. = (y \sin y + \cos y + x) y'$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $x = y - \cos y$ ની કિંમત મૂકતા:
$L.H.S. = (y \sin y + \cos y + y - \cos y) y'$
$L.H.S. = (y \sin y + y) y'$
$L.H.S. = y(1 + \sin y) y'$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $y'$ ની કિંમત મૂકતા:
$L.H.S. = y(1 + \sin y) \cdot \frac{1}{1 + \sin y}$
$L.H.S. = y = R.H.S.$
આમ,$L.H.S. = R.H.S.$ હોવાથી,આપેલ વિધેય એ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે.
Explore More
Similar Questions
વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{\sin y + e^x}{\ln y - x \cos y}$ નો ઉકેલ શોધો.
$(0, \pi)$ માં સતત વિકલનીય વિધેય $\phi (x)$ જે $y' = 1 + y^2$ અને $y(0) = 0 = y(\pi)$ નું પાલન કરે છે,તે છે
Difficult
View Solutionજો $y$ એ $x$ નું વિધેય હોય,તો $\frac{d^2y}{dx^2} + y \frac{dy}{dx} = 0$ છે. જો $x$ એ $y$ નું વિધેય હોય,તો સમીકરણ શું બનશે?
વિધાન $-1$: પરવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ,જેની અક્ષ $x$-અક્ષ છે અને શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ પર છે,તે બિંદુ $P$ ના કોટિ (ordinate) ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
વિધાન $-2$: પરવલયોની સંહતિ $y^2 = 4ax$ એ $1$ ઘાત અને $1$ કક્ષાના વિકલ સમીકરણનું પાલન કરે છે.
વિધાન $-2$: પરવલયોની સંહતિ $y^2 = 4ax$ એ $1$ ઘાત અને $1$ કક્ષાના વિકલ સમીકરણનું પાલન કરે છે.
DifficultJEE MAIN 2013
View Solutionબધા વર્તુળોના પરિવારને ધ્યાનમાં લો જેના કેન્દ્રો સીધી રેખા $y = x$ પર આવેલા છે. જો આ વર્તુળોના પરિવારને વિકલ સમીકરણ $P y^{\prime \prime} + Q y^{\prime} + 1 = 0$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે,જ્યાં $P, Q$ એ $x, y$ અને $y^{\prime}$ ના વિધેયો છે (અહીં $y^{\prime} = \frac{dy}{dx}, y^{\prime \prime} = \frac{d^2y}{dx^2}$),તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A) P = y + x$
$(B) P = y - x$
$(C) P + Q = 1 - x + y + y^{\prime} + (y^{\prime})^2$
$(D) P - Q = x + y - y^{\prime} - (y^{\prime})^2$
$(A) P = y + x$
$(B) P = y - x$
$(C) P + Q = 1 - x + y + y^{\prime} + (y^{\prime})^2$
$(D) P - Q = x + y - y^{\prime} - (y^{\prime})^2$
MediumIIT 2015
View SolutionVedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo