पृथ्वी का वजन करना: आपको निम्नलिखित डेटा दिया गया है: $g = 9.81 \; m/s^2$, $R_E = 6.37 \times 10^6 \; m$, चंद्रमा की दूरी $R = 3.84 \times 10^8 \; m$ और चंद्रमा के परिक्रमण का समय $27.3$ दिन है। पृथ्वी का द्रव्यमान $M_E$ दो अलग-अलग तरीकों से प्राप्त करें।
(N/A) विधि $1$: पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का उपयोग करके।
$M_E = \frac{g R_E^2}{G}$
$M_E = \frac{9.81 \times (6.37 \times 10^6)^2}{6.67 \times 10^{-11}}$
$M_E \approx 5.97 \times 10^{24} \; kg$
विधि $2$: चंद्रमा की कक्षीय गति का उपयोग करके।
केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार, $T^2 = \frac{4 \pi^2 R^3}{G M_E}$, इसलिए $M_E = \frac{4 \pi^2 R^3}{G T^2}$.
यहाँ $T = 27.3 \; \text{दिन} = 27.3 \times 24 \times 3600 \; s = 2.3587 \times 10^6 \; s$.
$M_E = \frac{4 \times (3.14)^2 \times (3.84 \times 10^8)^3}{6.67 \times 10^{-11} \times (2.3587 \times 10^6)^2}$
$M_E \approx 6.02 \times 10^{24} \; kg$.
दोनों विधियाँ लगभग समान उत्तर देती हैं, जिनमें अंतर $1 \%$ से कम है।
$M_E = \frac{g R_E^2}{G}$
$M_E = \frac{9.81 \times (6.37 \times 10^6)^2}{6.67 \times 10^{-11}}$
$M_E \approx 5.97 \times 10^{24} \; kg$
विधि $2$: चंद्रमा की कक्षीय गति का उपयोग करके।
केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार, $T^2 = \frac{4 \pi^2 R^3}{G M_E}$, इसलिए $M_E = \frac{4 \pi^2 R^3}{G T^2}$.
यहाँ $T = 27.3 \; \text{दिन} = 27.3 \times 24 \times 3600 \; s = 2.3587 \times 10^6 \; s$.
$M_E = \frac{4 \times (3.14)^2 \times (3.84 \times 10^8)^3}{6.67 \times 10^{-11} \times (2.3587 \times 10^6)^2}$
$M_E \approx 6.02 \times 10^{24} \; kg$.
दोनों विधियाँ लगभग समान उत्तर देती हैं, जिनमें अंतर $1 \%$ से कम है।
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$(a)$ दो पिंडों के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकलने के लिए $m$ द्रव्यमान का न्यूनतम प्रारंभिक वेग $4 \sqrt{\frac{GM}{L}}$ है
$(b)$ दो पिंडों के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकलने के लिए $m$ द्रव्यमान का न्यूनतम प्रारंभिक वेग $2 \sqrt{\frac{GM}{L}}$ है
$(c)$ दो पिंडों के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकलने के लिए $m$ द्रव्यमान का न्यूनतम प्रारंभिक वेग $\sqrt{\frac{2GM}{L}}$ है
$(d)$ $m$ द्रव्यमान की ऊर्जा स्थिर रहती है
$(a)$ दो पिंडों के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकलने के लिए $m$ द्रव्यमान का न्यूनतम प्रारंभिक वेग $4 \sqrt{\frac{GM}{L}}$ है
$(b)$ दो पिंडों के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकलने के लिए $m$ द्रव्यमान का न्यूनतम प्रारंभिक वेग $2 \sqrt{\frac{GM}{L}}$ है
$(c)$ दो पिंडों के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकलने के लिए $m$ द्रव्यमान का न्यूनतम प्रारंभिक वेग $\sqrt{\frac{2GM}{L}}$ है
$(d)$ $m$ द्रव्यमान की ऊर्जा स्थिर रहती है
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