जब |x|3 हो,तब x^{3/2}(3+x)^{1/2} के विस्तार | vedclass

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Question

(B) दी गई व्यंजक $x^{3/2}(3+x)^{1/2}$ है।चूंकि $|x|>3$,हम इसे $x^{3/2} \cdot x^{1/2} (1 + \frac{3}{x})^{1/2} = x^2 (1 + \frac{3}{x})^{1/2}$ के रूप में

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$(-1)^{n+1} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n+1)}{2^{n+2}(n+2)!} 3^{n+2}$

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(B) दी गई व्यंजक $x^{3/2}(3+x)^{1/2}$ है।चूंकि $|x|>3$,हम इसे $x^{3/2} \cdot x^{1/2} (1 + \frac{3}{x})^{1/2} = x^2 (1 + \frac{3}{x})^{1/2}$ के रूप में लिख सकते हैं।द्विपद विस्तार $(1+z)^k = \sum_{r=0}^{\infty} \binom{k}{r} z^r$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\binom{k}{r} = \frac{k(k-1)\dots(k-r+1)}{r!}$ है।यहाँ $k = 1/2$ और $z = 3/x$ है।अतः,$x^2 (1 + \frac{3}{x})^{1/2} = x^2 \sum_{r=0}^{\infty} \binom{1/2}{r} (\frac{3}{x})^r = \sum_{r=0}^{\infty} \binom{1/2}{r} 3^r x^{2-r}$।हमें $\frac{1}{x^n}$ का गुणांक चाहिए,इसलिए $2-r = -n$ रखने पर,$r = n+2$ प्राप्त होता है।गुणांक $\binom{1/2}{n+2} 3^{n+2}$ है।$\binom{1/2}{n+2} = \frac{(1/2)(-1/2)(-3/2)\dots(-(2n+1)/2)}{(n+2)!} = \frac{(-1)^{n+1} \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n+1)}{2^{n+2} (n+2)!}$।इसे $3^{n+2}$ से गुणा करने पर,गुणांक $(-1)^{n+1} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n+1)}{2^{n+2}(n+2)!} 3^{n+2}$ प्राप्त होता है।

जब $|x|>3$ हो,तब $x^{3/2}(3+x)^{1/2}$ के विस्तार में $\frac{1}{x^n}$ का गुणांक क्या है?

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