निम्नलिखित में से कौन सा व्यंजक अर्थपूर्ण है?

यदि $\bar{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}, \bar{b}=b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}$,और $\bar{c}=c_1 \hat{i}+c_2 \hat{j}+c_3 \hat{k}$,तथा $[3 \bar{a}+\bar{b} \quad 3 \bar{b}+\bar{c} \quad 3 \bar{c}+\bar{a}] = \lambda \begin{vmatrix} \bar{a} \cdot \hat{i} & \bar{a} \cdot \hat{j} & \bar{a} \cdot \hat{k} \\ \bar{b} \cdot \hat{i} & \bar{b} \cdot \hat{j} & \bar{b} \cdot \hat{k} \\ \bar{c} \cdot \hat{i} & \bar{c} \cdot \hat{j} & \bar{c} \cdot \hat{k} \end{vmatrix}$ है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\bar{a}, \bar{b}$ और $\bar{c}$ कोई भी तीन शून्येतर सदिश हैं,तो $(\bar{a}+2 \bar{b}+\bar{c}) \cdot[(\bar{a}-\bar{b}) \times(\bar{a}-\bar{b}-\bar{c})]=$

मान लीजिए $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + \lambda\hat{j} + 4\hat{k}$,और $\vec{c} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + (\lambda^2 - 1)\hat{k}$ समतलीय सदिश हैं। तो शून्येतर सदिश $\vec{a} \times \vec{c}$ क्या है?

यदि $\vec a = 3\vec j + 4\vec k$,$\vec b = 2\vec i + \vec k$ और $\vec c$,$\vec d$ क्रमशः $\vec b$ के समानांतर और लंबवत $\vec a$ के घटक हैं,तो अदिश त्रिक गुणनफल $\left[ {(\vec a \times \vec c) \times (\vec c \times \vec d), (\vec c \times \vec d) \times (\vec d \times \vec a), (\vec d \times \vec a) \times (\vec a \times \vec c)} \right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ सह-आदिम किनारों वाले समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन $3 \text{ घन इकाई}$ है। $(\vec{a} \times \vec{b}), (\vec{a} \times 2\vec{c}), (\vec{b} \times 2\vec{c})$ सह-आदिम किनारों वाले चतुष्फलक (tetrahedron) का आयतन (घन इकाई में) है: