પ્રત્યક્ષ ભાગાકાર કર્યા વગર સાબિત કરો કે $2x^4 - 5x^3 + 2x^2 - x + 2$ એ $x^2 - 3x + 2$ વડે વિભાજ્ય છે.

(N/A) ધારો કે $p(x) = 2x^4 - 5x^3 + 2x^2 - x + 2$ અને $g(x) = x^2 - 3x + 2$.
પ્રથમ,ભાજક $g(x)$ ના અવયવો પાડો:
$g(x) = x^2 - 3x + 2 = x^2 - x - 2x + 2 = x(x - 1) - 2(x - 1) = (x - 1)(x - 2)$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(x)$ એ $g(x)$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે $(x - 1)$ અને $(x - 2)$ બંને વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ.
$(x - 1)$ માટે ચકાસો:
$p(1) = 2(1)^4 - 5(1)^3 + 2(1)^2 - 1 + 2 = 2 - 5 + 2 - 1 + 2 = 0$.
$p(1) = 0$ હોવાથી,$(x - 1)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
$(x - 2)$ માટે ચકાસો:
$p(2) = 2(2)^4 - 5(2)^3 + 2(2)^2 - 2 + 2 = 2(16) - 5(8) + 2(4) - 2 + 2 = 32 - 40 + 8 = 0$.
$p(2) = 0$ હોવાથી,$(x - 2)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
આમ,$(x - 1)$ અને $(x - 2)$ બંને $p(x)$ ના અવયવો હોવાથી,તેમનો ગુણાકાર $(x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2$ પણ $p(x)$ નો અવયવ થાય.
તેથી,$2x^4 - 5x^3 + 2x^2 - x + 2$ એ $x^2 - 3x + 2$ વડે વિભાજ્ય છે.