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Question

(A) निरीक्षण विधि द्वारा $f(x) = 3x^{2} + 4x^{3}$ का प्रति-अवकलज ज्ञात करने के लिए,हम एक ऐसा फलन $F(x)$ ढूँढते हैं जिसके लिए $F'(x) = f(x)$ हो।हम जानत

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$x^{3} + x^{4}$

Vedclass · Answer

(A) निरीक्षण विधि द्वारा $f(x) = 3x^{2} + 4x^{3}$ का प्रति-अवकलज ज्ञात करने के लिए,हम एक ऐसा फलन $F(x)$ ढूँढते हैं जिसके लिए $F'(x) = f(x)$ हो।हम जानते हैं कि $x^{n}$ का अवकलज $nx^{n-1}$ होता है।प्रथम पद $3x^{2}$ के लिए,हम देखते हैं कि $\frac{d}{dx}(x^{3}) = 3x^{2}$ होता है।द्वितीय पद $4x^{3}$ के लिए,हम देखते हैं कि $\frac{d}{dx}(x^{4}) = 4x^{3}$ होता है।अवकलन के रैखिकता गुणधर्म के अनुसार:$\frac{d}{dx}(x^{3} + x^{4}) = \frac{d}{dx}(x^{3}) + \frac{d}{dx}(x^{4}) = 3x^{2} + 4x^{3}$।अतः,$3x^{2} + 4x^{3}$ का एक प्रति-अवकलज $x^{3} + x^{4}$ है।

निरीक्षण विधि का उपयोग करके निम्नलिखित फलन के लिए एक प्रति-अवकलज (anti-derivative) ज्ञात कीजिए:
$3x^{2} + 4x^{3}$

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$\text{यदि } \int \frac{3x+2}{4x^2+4x+5} dx = A \log(4x^2+4x+5) + B \tan^{-1}\left(x+\frac{1}{2}\right) + C, \text{ तो } (A, B) = $

$\int [1+2 \tan x(\tan x+\sec x)]^{\frac{1}{2}} dx = $

निम्नलिखित समाकलन ज्ञात कीजिए: $\int(1-x) \sqrt{x} \, dx$

$\int {\frac{{dx}}{{\sin x - \cos x + \sqrt 2 }}} $ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \sqrt{1+2 \cot x(\cot x+\operatorname{cosec} x)} \, dx =$

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निरीक्षण विधि का उपयोग करके निम्नलिखित फलन के लिए एक प्रति-अवकलज (anti-derivative) ज्ञात कीजिए:$3x^{2} + 4x^{3}$