$n$ कणों के निकाय के लिए द्रव्यमान केंद्र का व्यंजक लिखिए और इसके द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करने वाले बल का सूत्र व्युत्पन्न कीजिए।

$n$ कणों के निकाय के द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश इस प्रकार है:
$\vec{R}_{cm} = \frac{m_{1} \vec{r}_{1} + m_{2} \vec{r}_{2} + \dots + m_{n} \vec{r}_{n}}{m_{1} + m_{2} + \dots + m_{n}} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{n} m_{i} \vec{r}_{i}$
जहाँ $M = \sum m_{i}$ निकाय का कुल द्रव्यमान है।
बल ज्ञात करने के लिए,हम स्थिति सदिश का समय के सापेक्ष अवकलन करके वेग प्राप्त करते हैं:
$\vec{V}_{cm} = \frac{d\vec{R}_{cm}}{dt} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{n} m_{i} \vec{v}_{i}$
$M \vec{V}_{cm} = \sum_{i=1}^{n} m_{i} \vec{v}_{i} \quad (1)$
समीकरण $(1)$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर त्वरण प्राप्त होता है:
$M \frac{d\vec{V}_{cm}}{dt} = \sum_{i=1}^{n} m_{i} \frac{d\vec{v}_{i}}{dt}$
$M \vec{A}_{cm} = \sum_{i=1}^{n} m_{i} \vec{a}_{i}$
चूंकि $i$-वें कण पर बल $\vec{F}_{i} = m_{i} \vec{a}_{i}$ है,निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल $\vec{F}_{ext}$ सभी व्यक्तिगत बलों का योग है:
$\vec{F}_{ext} = \sum_{i=1}^{n} \vec{F}_{i} = \sum_{i=1}^{n} m_{i} \vec{a}_{i}$
अतः,$M \vec{A}_{cm} = \vec{F}_{ext}$।
यह दर्शाता है कि निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल,निकाय के कुल द्रव्यमान और उसके द्रव्यमान केंद्र के त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है।