निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए सत्य या असत्य लिखिए और अपने उत्तर का औचित्य बताइए:
यदि $A, B, C, D$ चार ऐसे बिंदु हैं कि $\angle BAC = 30^{\circ}$ और $\angle BDC = 60^{\circ}$ है, तो $D$, $A, B$ और $C$ से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र है।

(B) दिया गया कथन असत्य है।
औचित्य:
ज्यामिति के प्रमेय के अनुसार, वृत्त के एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, वृत्त के शेष भाग पर स्थित किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
यदि $D$, $A, B$ और $C$ से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र होता, तो चाप $BC$ द्वारा केंद्र $D$ पर अंतरित कोण $(\angle BDC)$, परिधि पर स्थित कोण $(\angle BAC)$ का दोगुना होना चाहिए था।
यहाँ $\angle BAC = 30^{\circ}$ दिया गया है, इसलिए $\angle BDC = 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}$ होना चाहिए।
हालाँकि, $\angle BDC = 60^{\circ}$ होना $D$ के केंद्र होने के लिए आवश्यक शर्त है, लेकिन पर्याप्त नहीं है। ऐसे अनंत बिंदु $D$ हो सकते हैं जिनके लिए $\angle BDC = 60^{\circ}$ हो (उदाहरण के लिए, $B, C$ और $D$ से गुजरने वाले वृत्त के दीर्घ चाप पर स्थित कोई भी बिंदु)।
अतः, यह आवश्यक नहीं है कि $D$, $A, B$ और $C$ से गुजरने वाले वृत्त का केंद्र ही हो।