Class 9MathematicsAreas of Parallelograms and TrianglesMix Examples - Areas of Parallelograms and Triangles
Mediumसत्य या असत्य लिखिए और अपने उत्तर का औचित्य बताइए:
आकृति में,$ABCD$ और $EFGD$ दो समांतर चतुर्भुज हैं और $G$,$CD$ का मध्य-बिंदु है। तो $\operatorname{ar}(\triangle DPC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(EFGD).$
आकृति में,$ABCD$ और $EFGD$ दो समांतर चतुर्भुज हैं और $G$,$CD$ का मध्य-बिंदु है। तो $\operatorname{ar}(\triangle DPC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(EFGD).$
(FALSE) यह कथन असत्य है।
औचित्य:
चूँकि $\triangle DPC$ और समांतर चतुर्भुज $ABCD$ एक ही आधार $DC$ पर और समांतर रेखाओं $AB$ और $DC$ के बीच स्थित हैं,इसलिए:
$\operatorname{ar}(\triangle DPC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$.
दिया गया है कि $G$,$DC$ का मध्य-बिंदु है,अतः समांतर चतुर्भुज $EFGD$ का आधार $DG = \frac{1}{2} DC$ है।
चूँकि समांतर चतुर्भुज $EFGD$ और समांतर चतुर्भुज $ABCD$ एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं,इसलिए उनके क्षेत्रफल उनके आधारों के अनुपात में होते हैं।
$\operatorname{ar}(EFGD) = \frac{DG}{DC} \times \operatorname{ar}(ABCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$.
दोनों परिणामों की तुलना करने पर:
$\operatorname{ar}(\triangle DPC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$ और $\operatorname{ar}(EFGD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$.
अतः,$\operatorname{ar}(\triangle DPC) = \operatorname{ar}(EFGD)$.
औचित्य:
चूँकि $\triangle DPC$ और समांतर चतुर्भुज $ABCD$ एक ही आधार $DC$ पर और समांतर रेखाओं $AB$ और $DC$ के बीच स्थित हैं,इसलिए:
$\operatorname{ar}(\triangle DPC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$.
दिया गया है कि $G$,$DC$ का मध्य-बिंदु है,अतः समांतर चतुर्भुज $EFGD$ का आधार $DG = \frac{1}{2} DC$ है।
चूँकि समांतर चतुर्भुज $EFGD$ और समांतर चतुर्भुज $ABCD$ एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं,इसलिए उनके क्षेत्रफल उनके आधारों के अनुपात में होते हैं।
$\operatorname{ar}(EFGD) = \frac{DG}{DC} \times \operatorname{ar}(ABCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$.
दोनों परिणामों की तुलना करने पर:
$\operatorname{ar}(\triangle DPC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$ और $\operatorname{ar}(EFGD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$.
अतः,$\operatorname{ar}(\triangle DPC) = \operatorname{ar}(EFGD)$.
Explore More
Similar Questions
आकृति में,$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है। $BC$ पर स्थित बिंदु $P$ और $Q$,$BC$ को तीन बराबर भागों में विभाजित करते हैं। सिद्ध कीजिए कि $\operatorname{ar}(APQ) = \operatorname{ar}(DPQ) = \frac{1}{6} \operatorname{ar}(ABCD)$।
Difficult
View Solutionदी गई आकृति में,$PQM$ एक रेखा है और $SQ || RM$ है। सिद्ध कीजिए कि $ar(PQR) = ar(PMS)$ है।
Medium
View Solution$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है और $BC$ को एक बिंदु $Q$ तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि $AD = CQ$ है। यदि $AQ$,$DC$ को $P$ पर प्रतिच्छेद करता है,तो दर्शाइए कि $\operatorname{ar}(BPC) = \operatorname{ar}(DPQ)$ है।
Medium
View Solution$ABCD$ एक समचतुर्भुज है। यदि $AC = 16 \, cm$ और $BD = 30 \, cm$ है,तो $ABCD$ का क्षेत्रफल $cm^2$ में ज्ञात कीजिए।
Easy
View Solutionबताइए कि निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन सत्य है या असत्य:
$(1)$ समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \text{आधार} \times \text{संगत शीर्षलंब}$.
$(2)$ समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{इसके विकर्णों का गुणनफल}$.
$(3)$ वर्ग का क्षेत्रफल $= (\text{भुजा})^2$.
$(1)$ समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \text{आधार} \times \text{संगत शीर्षलंब}$.
$(2)$ समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{इसके विकर्णों का गुणनफल}$.
$(3)$ वर्ग का क्षेत्रफल $= (\text{भुजा})^2$.
Easy
View SolutionVedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo