Geometrical problems regarding circle and its properties Questions in Gujarati

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. વર્તુળ $(0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી, તેની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{h^2 + k^2}$ છે.
વર્તુળ રેખાઓ $x + y - 1 = 0$ અને $x - y - 1 = 0$ ને સ્પર્શે છે. તેથી, $(h, k)$ થી આ રેખાઓનું લંબ અંતર $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$r = \frac{|h + k - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{|h - k - 1|}{\sqrt{2}}$.
આનો અર્થ એ છે કે $|h + k - 1| = |h - k - 1|$.
કિસ્સો $1$: $h + k - 1 = h - k - 1 \implies k = 0$.
$r^2 = h^2 + k^2$ માં $k=0$ મૂકતા, $r^2 = h^2$. વળી $r = \frac{|h - 1|}{\sqrt{2}}$, તેથી $h^2 = \frac{(h-1)^2}{2} \implies h^2 + 2h - 1 = 0$. આનાથી $h$ ના બે મૂલ્યો મળે છે, તેથી બે વર્તુળો.
કિસ્સો $2$: $h + k - 1 = -(h - k - 1) \implies h = 1$.
$r^2 = h^2 + k^2$ માં $h=1$ મૂકતા, $r^2 = 1 + k^2$. વળી $r = \frac{|k|}{\sqrt{2}}$, તેથી $r^2 = \frac{k^2}{2}$.
આને સરખાવતા, $1 + k^2 = \frac{k^2}{2} \implies \frac{k^2}{2} = -1$, જેનો $k$ માટે કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
આમ, આવા $2$ વર્તુળો છે.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r$ છે. વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
તે $(0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે, તેથી $h^2 + (1 - k)^2 = r^2$ મળે. $(1)$
તે $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે, તેથી $(1 - h)^2 + (1 - k)^2 = r^2$ મળે. $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા: $h^2 = (1 - h)^2 \implies h^2 = 1 - 2h + h^2 \implies 2h = 1 \implies h = \frac{1}{2}$.
$(1, 1)$ પર $y = x^2$ ના સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 2x|_{x=1} = 2$ છે. $(1, 1)$ પર અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{2}$ છે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ એ અભિલંબ રેખા પર આવેલું છે જે $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $-\frac{1}{2}$ છે: $\frac{k - 1}{h - 1} = -\frac{1}{2}$.
$h = \frac{1}{2}$ મૂકતા: $\frac{k - 1}{1/2 - 1} = -\frac{1}{2} \implies \frac{k - 1}{-1/2} = -\frac{1}{2} \implies k - 1 = \frac{1}{4} \implies k = \frac{5}{4}$.
આમ, કેન્દ્ર $(\frac{1}{2}, \frac{5}{4})$ છે.

(B) અંતર $OP = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OAP$ માં, $OA = r$ અને $AP = \sqrt{OP^2 - r^2} = \sqrt{100 - r^2}$ છે.
$\triangle OAP$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times OA \times AP = \frac{1}{2} r \sqrt{100 - r^2}$ છે.
ચતુષ્કોણ $PAOB$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \text{ક્ષેત્રફળ}(\triangle OAP) = r \sqrt{100 - r^2}$ છે.
ધારો કે $f(r) = r \sqrt{100 - r^2}$ છે. $f(r)$ ને મહત્તમ કરવા માટે, $f(r)^2 = r^2(100 - r^2) = 100r^2 - r^4$ ને મહત્તમ કરો.
ધારો કે $g(r) = 100r^2 - r^4$ છે. $r$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $g'(r) = 200r - 4r^3$ મળે છે.
$g'(r) = 0$ લેતા, $4r(50 - r^2) = 0$ મળે છે, તેથી $r^2 = 50$, જેનો અર્થ છે કે $r = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ છે.
આમ, જ્યારે $r = 5\sqrt{2}$ હોય ત્યારે ક્ષેત્રફળ મહત્તમ થાય છે.

(B) $1$. વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 2 = 0$ છે. $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા, $g = -1, f = -1, c = -2$ મળે છે.
$2$. કેન્દ્ર $C$ $(-g, -f) = (1, 1)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{1 + 1 + 2} = \sqrt{4} = 2$ છે.
$3$. $C(1, 1)$ થી રેખા $x + y - 4 = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|1 + 1 - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ છે.
$4$. $\triangle ABC$ માં, $AC = BC = r = 2$ છે. $C$ થી જીવા $AB$ પરના ત્રિકોણની ઊંચાઈ $d = \sqrt{2}$ છે.
$5$. જીવા $AB$ ની લંબાઈ $2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{4 - 2} = 2\sqrt{2}$ છે.
$6$. $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times AB \times d = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$.

(D) વર્તુળ $C_1: x^2 + y^2 - 6x = 0$ માટે, કેન્દ્ર $C_1 = (3, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{3^2 + 0^2 - 0} = 3$ છે.
વર્તુળ $C_2: x^2 + y^2 + 6x + 2y + 1 = 0$ માટે, કેન્દ્ર $C_2 = (-3, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2 - 1} = \sqrt{9 + 1 - 1} = 3$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}$ છે.
કારણ કે $r_1 + r_2 = 3 + 3 = 6$ અને $\sqrt{37} > 6$, કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર ત્રિજ્યાઓના સરવાળા કરતા વધારે છે $(d > r_1 + r_2)$.
તેથી, વર્તુળો અલગ છે અને એકબીજાને છેદતા કે સ્પર્શતા નથી.
આ કિસ્સામાં, સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $4$ છે.