Equation of pair of straight lines Questions in Hindi

(C) दिया गया समीकरण $x^2 - (1 + \sqrt{3})xy + \sqrt{3}y^2 = 0$ है।
यह $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के रूप का एक समघात समीकरण है, जहाँ $a = 1$, $2h = -(1 + \sqrt{3})$, और $b = \sqrt{3}$ है।
माना $m_1 = \tan \alpha$ और $m_2 = \tan \beta$ रेखाओं की प्रवणताएँ हैं।
समघात समीकरण के गुणों से, $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b} = \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ और $m_1 m_2 = \frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
हमें $\tan(\alpha + \beta) = \frac{m_1 + m_2}{1 - m_1 m_2}$ ज्ञात करना है।
मान रखने पर: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$।
अतः सही विकल्प $C$ है।

(B) मान लीजिए रेखाओं की प्रवणताएँ $m_1 = \tan \alpha$ और $m_2 = \tan \beta$ हैं।
समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ मूल बिंदु से गुजरने वाली दो रेखाओं को निरूपित करता है।
समघाती रूप में द्विघात समीकरणों के गुणों से, प्रवणताओं का योग $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ और प्रवणताओं का गुणनफल $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ है।
योग के स्पर्शज्या के त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{m_1 + m_2}{1 - m_1 m_2} = \frac{-\frac{2h}{b}}{1 - \frac{a}{b}}$।
व्यंजक को सरल करने पर: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{-\frac{2h}{b}}{\frac{b - a}{b}} = \frac{-2h}{b - a} = \frac{2h}{a - b}$।

(B) चरण $1$: पहली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। चूँकि यह $(1, 4)$ से गुजरती है और $X$-अक्ष के समांतर है, इसका समीकरण $y = 4$ या $y - 4 = 0$ है।
चरण $2$: दूसरी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। यह $(1, 4)$ से गुजरती है और $X$-अक्ष के साथ $45^\circ$ का कोण बनाती है। इसकी ढाल $m = \tan(45^\circ) = 1$ है। बिंदु-ढाल रूप $(y - y_1) = m(x - x_1)$ का उपयोग करने पर, हमें $(y - 4) = 1(x - 1)$ प्राप्त होता है, जो सरल होकर $y - 4 = x - 1$ या $x - y + 3 = 0$ बन जाता है।
चरण $3$: संयुक्त समीकरण दोनों व्यक्तिगत समीकरणों का गुणनफल है: $(y - 4)(x - y + 3) = 0$।
चरण $4$: गुणनफल का विस्तार करने पर: $xy - y^2 + 3y - 4x + 4y - 12 = 0$।
चरण $5$: सरल करने पर $xy - y^2 - 4x + 7y - 12 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{a} + \frac{2xy}{h} + \frac{y^2}{b} = 0$ है। $abh$ से गुणा करने पर, $bhx^2 + 2axy + ahy^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$x^2$ से भाग देने पर, $ahy^2/x^2 + 2ay/x + bh = 0$ प्राप्त होता है। माना $m = y/x$ रेखाओं की ढाल है।
तब $ahm^2 + 2am + bh = 0$ है।
माना मूल $m$ और $2m$ हैं। मूलों का योग: $m + 2m = 3m = -2a / ah = -2/h$, अतः $m = -2/(3h)$ है।
मूलों का गुणनफल: $m \cdot 2m = 2m^2 = bh / ah = b/a$ है।
$m = -2/(3h)$ को $2m^2 = b/a$ में प्रतिस्थापित करने पर: $2(-2/(3h))^2 = b/a \implies 2(4 / 9h^2) = b/a \implies 8 / 9h^2 = b/a$ है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $h^2 / ab = 9 / 8$ प्राप्त होता है, अतः $h^2 : ab = 9:8$ है।

(A) माना अभीष्ट रेखाओं की ढाल $m$ है। दी गई रेखा $3x + y - 6 = 0$ की ढाल $m_1 = -3$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{4}$ है। सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m m_1} \right|$ का उपयोग करने पर:
$\tan \frac{\pi}{4} = \left| \frac{m - (-3)}{1 + m(-3)} \right| \implies 1 = \left| \frac{m + 3}{1 - 3m} \right|$।
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं: $1 = \frac{m + 3}{1 - 3m}$ या $1 = -\frac{m + 3}{1 - 3m}$।
स्थिति $1$: $1 - 3m = m + 3 \implies 4m = -2 \implies m = -\frac{1}{2}$।
स्थिति $2$: $1 - 3m = -(m + 3) \implies 1 - 3m = -m - 3 \implies 2m = 4 \implies m = 2$।
रेखाओं के समीकरण $y = -\frac{1}{2}x$ और $y = 2x$ हैं, जो $x + 2y = 0$ और $2x - y = 0$ हैं।
संयुक्त समीकरण $(x + 2y)(2x - y) = 0$ है।
$2x^2 - xy + 4xy - 2y^2 = 0 \implies 2x^2 + 3xy - 2y^2 = 0$।