Excess Pressure and coalesce of Bubble and drop Questions in Gujarati

(A) સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = P_{in} - P_{out} = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $r$ એ પરપોટાની ત્રિજ્યા છે.
પરપોટા $A$ માટે: $\Delta P_A = 1.02 - 1 = 0.02 \text{ atm} = \frac{4T}{r_A}$.
પરપોટા $B$ માટે: $\Delta P_B = 1.04 - 1 = 0.04 \text{ atm} = \frac{4T}{r_B}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\Delta P_A}{\Delta P_B} = \frac{r_B}{r_A} = \frac{0.02}{0.04} = \frac{1}{2}$.
આમ, $r_A = 2r_B$.
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે.
કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_A}{V_B} = \frac{r_A^3}{r_B^3} = (2)^3 = 8$ થાય.
તેથી, ગુણોત્તર $8:1$ છે.

(C) ધારો કે મોટા પરપોટાની ત્રિજ્યા $R = D/2$ છે. મોટા પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ છે.
ધારો કે દરેક નાના પરપોટાની ત્રિજ્યા $r$ છે. કદ અચળ રહેતું હોવાથી, $V = 64 \times (\frac{4}{3}\pi r^3)$.
આમ, $R^3 = 64r^3$, જેનો અર્થ છે કે $R = 4r$ અથવા $r = R/4$.
મોટા સાબુના પરપોટાનું પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ (બે સપાટીઓ હોવાથી) $A_i = 2 \times (4\pi R^2) = 8\pi R^2$ છે.
$64$ નાના પરપોટાનું અંતિમ પૃષ્ઠફળ $A_f = 64 \times 2 \times (4\pi r^2) = 512\pi r^2$ છે.
$r = R/4$ મૂકતા, $A_f = 512\pi (R/4)^2 = 512\pi (R^2/16) = 32\pi R^2$ મળે.
પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = A_f - A_i = 32\pi R^2 - 8\pi R^2 = 24\pi R^2$ છે.
પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = T \times \Delta A = T \times 24\pi R^2$ છે.
$R = D/2$ મૂકતા, $\Delta U = T \times 24\pi (D/2)^2 = T \times 24\pi (D^2/4) = 6\pi T D^2$ મળે.

(B) સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P$ શોધવાનું સૂત્ર: $\Delta P = \frac{4T}{r}$ છે, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $r$ એ પરપોટાની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે:
વધારાનું દબાણ $\Delta P = 48 \text{ dyne/cm}^2$
ત્રિજ્યા $r = 2.5 \text{ cm}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$48 = \frac{4 \times T}{2.5}$
$48 \times 2.5 = 4T$
$120 = 4T$
$T = \frac{120}{4} = 30 \text{ dyne/cm}$
તેથી, સાબુના દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ $30 \text{ dyne/cm}$ છે.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{4S}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ પરપોટામાં વધારાનું દબાણ $(P_1)$ એ બીજા પરપોટા $(P_2)$ કરતા ત્રણ ગણું છે:
$P_1 = 3P_2$
$\frac{4S}{R_1} = 3 \times \frac{4S}{R_2}$
$\frac{1}{R_1} = \frac{3}{R_2} \implies R_2 = 3R_1$
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ છે.
કદનો ગુણોત્તર:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi R_1^3}{\frac{4}{3}\pi R_2^3} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$
$R_2 = 3R_1$ મૂકતા:
$\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{R_1}{3R_1}\right)^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$
આમ, પ્રથમ પરપોટા અને બીજા પરપોટાના કદનો ગુણોત્તર $1:27$ છે. વિકલ્પો જોતા, $27$ એ $V_2/V_1$ નો ગુણોત્તર દર્શાવે છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{4T}{R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ સાબુના દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ પરપોટાનું વધારાનું દબાણ $(P_1)$ એ બીજા પરપોટાના દબાણ $(P_2)$ કરતા ત્રણ ગણું છે:
$P_1 = 3P_2$
$\frac{4T}{R_1} = 3 \times \frac{4T}{R_2}$
$\frac{1}{R_1} = \frac{3}{R_2} \implies R_2 = 3R_1$
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ અને બીજા પરપોટાના કદનો ગુણોત્તર:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi R_1^3}{\frac{4}{3}\pi R_2^3} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$
$R_2 = 3R_1$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{R_1}{3R_1}\right)^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$
આમ, કદનો ગુણોત્તર $1:27$ છે.

(A) સાબુના પરપોટા માટે, અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અંદરનું કુલ દબાણ $P_{in} = P + \frac{4T}{r}$ છે.
પ્રક્રિયા સમતાપી હોવાથી, હવાના મોલની સંખ્યા અચળ રહે છે, તેથી $PV = \text{\text{અચળ}}$.
બે પ્રારંભિક પરપોટા માટે: $P_1 V_1 = (P + \frac{4T}{r_1}) \cdot \frac{4}{3} \pi r_1^3$ અને $P_2 V_2 = (P + \frac{4T}{r_2}) \cdot \frac{4}{3} \pi r_2^3$.
અંતિમ પરપોટા માટે: $P_f V_f = (P + \frac{4T}{R}) \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$.
હવાનું કુલ પ્રમાણ જળવાઈ રહેતું હોવાથી, $P_1 V_1 + P_2 V_2 = P_f V_f$.
સૂત્રો મૂકતા: $(P + \frac{4T}{r_1}) \frac{4}{3} \pi r_1^3 + (P + \frac{4T}{r_2}) \frac{4}{3} \pi r_2^3 = (P + \frac{4T}{R}) \frac{4}{3} \pi R^3$.
$P r_1^3 + 4T r_1^2 + P r_2^3 + 4T r_2^2 = P R^3 + 4T R^2$.
$P(r_1^3 + r_2^3 - R^3) = 4T(R^2 - r_1^2 - r_2^2)$.
$T = \frac{P(r_1^3 + r_2^3 - R^3)}{4(R^2 - r_1^2 - r_2^2)} = \frac{P(R^3 - r_1^3 - r_2^3)}{4(r_1^2 + r_2^2 - R^2)}$.

(D) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર પાણીના ટીપાંની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{2T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
આપેલ છે કે ટીપાં $A$ માં વધારાનું દબાણ ટીપાં $B$ કરતા ચાર ગણું છે, તેથી $P_A = 4P_B$.
સૂત્ર મૂકતા, $\frac{2T}{r_A} = 4 \times \frac{2T}{r_B}$, જેનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{r_A} = \frac{4}{r_B}$ અથવા $r_B = 4r_A$ મળે છે.
ગોળાકાર પાણીના ટીપાંનું દળ $m = \rho V = \rho \times \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\rho$ એ પાણીની ઘનતા છે.
તેથી, ટીપાં $A$ ના દળનો ટીપાં $B$ ના દળ સાથેનો ગુણોત્તર $\frac{m_A}{m_B} = \frac{\rho \times \frac{4}{3} \pi r_A^3}{\rho \times \frac{4}{3} \pi r_B^3} = \left( \frac{r_A}{r_B} \right)^3$ થાય.
$r_B = 4r_A$ મૂકતા, આપણને $\frac{m_A}{m_B} = \left( \frac{r_A}{4r_A} \right)^3 = \left( \frac{1}{4} \right)^3 = \frac{1}{64}$ મળે છે. જો પ્રશ્નનો અર્થ ટીપાં $B$ અને $A$ ના દળનો ગુણોત્તર હોય, તો તે $64$ થાય.

(B) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P$ એ સૂત્ર $P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ સાબુના દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ છે.
બંને પરપોટા માટે $T$ અચળ હોવાથી, વધારાનું દબાણ એ ત્રિજ્યાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $P \propto \frac{1}{r}$.
ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $r_A : r_B = 3 : 2$ આપેલ છે, તેથી વધારાના દબાણનો ગુણોત્તર $P_A : P_B$ નીચે મુજબ થશે:
$P_A / P_B = r_B / r_A = 2 / 3$.
આમ, પરપોટા $A$ અને $B$ ના વધારાના દબાણનો ગુણોત્તર $2 : 3$ છે.