Pressure and Energy Questions in Gujarati

(A) આદર્શ વાયુ માટે,આંતર-આણ્વિય બળો નહિવત માનવામાં આવે છે અને અથડામણો સંપૂર્ણપણે સ્થિતિસ્થાપક હોય છે.
પરિણામે,આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ એ માત્ર તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ નું વિધેય છે.
વાયુના ગતિવાદ મુજબ,આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U = \frac{f}{2} nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે,$n$ એ મોલની સંખ્યા છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં તાપમાન છે.
જેহেতু $U \propto T$,આંતરિક ઉર્જા $U$ અને તાપમાન $T$ વચ્ચેનો સંબંધ રેખીય છે,જે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
તેથી,જે આલેખ આ સંબંધને શ્રેષ્ઠ રીતે દર્શાવે છે તે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે,જે આલેખ $A$ ને અનુરૂપ છે.

(C) વાયુના અણુની સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા $(K_{avg})$ નું સૂત્ર $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ છે, જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
હાઇડ્રોજન અને ઓક્સિજન બંને માટે તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી, સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
તેથી, હાઇડ્રોજન અને ઓક્સિજનની સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $1: 1$ છે.

(A) આદર્શ વાયુનું દબાણ ગતિવાદના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$p = \frac{1}{3} \frac{N m}{V} v^2$
જ્યાં $m$ એ અણુનું દળ છે, $N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે, $V$ એ કદ છે, અને $v$ એ સરેરાશ વર્ગિત ઝડપ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક દબાણ $p = \frac{1}{3} \frac{N m}{V} v^2$ છે.
જ્યારે દરેક અણુનું દળ બમણું કરવામાં આવે $(m' = 2m)$ અને ઝડપ અડધી કરવામાં આવે $(v' = v/2)$, ત્યારે નવું દબાણ $p'$ નીચે મુજબ મળે:
$p' = \frac{1}{3} \frac{N (2m)}{V} \left(\frac{v}{2}\right)^2$
$p' = \frac{1}{3} \frac{N (2m)}{V} \left(\frac{v^2}{4}\right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \frac{N m}{V} v^2 \right) = \frac{1}{2} p$
તેથી, પ્રારંભિક દબાણ અને અંતિમ દબાણનો ગુણોત્તર:
$\frac{p}{p'} = \frac{p}{p/2} = \frac{2}{1}$
આમ, ગુણોત્તર $2: 1$ છે.

(C) આદર્શ વાયુની કુલ આંતરિક ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = n \frac{f}{2} R T$ છે.
દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે, મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે.
આપેલ છે: મોલની સંખ્યા $n = 4$, તાપમાન $T = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$, અને $R = 8.31 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$U = 4 \times \frac{5}{2} \times 8.31 \times 300$
$U = 2 \times 5 \times 8.31 \times 300$
$U = 10 \times 2493 = 24930 \ J$
$U = 24.93 \ kJ$.

(A) આદર્શ વાયુ માટે, આંતરિક ઊર્જા $U$ એ દબાણ $P$ અને કદ $V$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $U = \frac{3}{2} PV$.
આપેલ છે કે, એકમ કદ દીઠ ઊર્જા (ઊર્જા ઘનતા) $u = \frac{U}{V} = 600 \text{ J/L}$ છે.
કારણ કે $1 \text{ L} = 10^{-3} \text{ m}^3$, તેથી $SI$ એકમમાં ઊર્જા ઘનતા $u = \frac{600 \text{ J}}{10^{-3} \text{ m}^3} = 6 \times 10^5 \text{ J/m}^3$ થાય.
સંબંધ $u = \frac{3}{2} P$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $P = \frac{2}{3} u$ મળે છે.
$u$ ની કિંમત મૂકતા: $P = \frac{2}{3} \times 6 \times 10^5 \text{ N/m}^2 = 4 \times 10^5 \text{ N/m}^2$.

(C) વાયુના ગતિવાદ મુજબ, પાત્રની દીવાલો પર આદર્શ વાયુ દ્વારા લાગતું દબાણ $(P)$ એ $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે અને $v_{rms}$ એ સરેરાશ વર્ગિત વેગનું વર્ગમૂળ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$, તેથી $v_{rms}^2 = \frac{3RT}{M}$ થાય.
આ કિંમત દબાણના સમીકરણમાં મૂકતા, $P = \frac{1}{3} \rho \left(\frac{3RT}{M}\right) = \frac{\rho RT}{M}$ મળે છે.
બંધ પાત્રમાં વાયુનો જથ્થો નિશ્ચિત હોવાથી ઘનતા $\rho$ અને મોલર દળ $M$ અચળ રહે છે, તેથી દબાણ $P$ એ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(P \propto T)$.
બળ $(F)$ એ દબાણ અને દીવાલના ક્ષેત્રફળનો ગુણાકાર છે $(F = P \times A)$.
પાત્રની દીવાલનું ક્ષેત્રફળ અચળ હોવાથી, બળ $F$ પણ દબાણના સમપ્રમાણમાં હોય છે, અને તેથી તે તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(F \propto T^1)$.

(D) વાયુના અણુની સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = \frac{3}{2} k_B T$ છે, જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $K \propto T$.
જો ગતિઊર્જા બમણી કરવી હોય, એટલે કે $K' = 2K$, તો નવું તાપમાન $T'$ એ સંબંધ $K' \propto T'$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
કારણ કે $K' = 2K$, તેથી $T' = 2T$ થાય.
આમ, વાયુના અણુઓની સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા બમણી કરવા માટે નિરપેક્ષ તાપમાનને વધારીને $2T$ કરવું પડે.

(C) આદર્શ વાયુની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ (કેલ્વિનમાં) ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$K.E. \propto T$
આપેલ છે, પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^\circ$$C$ = $27 + 273 = 300$ $K$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1 = E_0$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 177^\circ$$C$ = $177 + 273 = 450$ $K$.
સંબંધ $\frac{K_2}{K_1} = \frac{T_2}{T_1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{K_2}{E_0} = \frac{450}{300}$
$\frac{K_2}{E_0} = \frac{3}{2}$
$K_2 = \frac{3}{2} E_0$.

(A) વાયુના ગતિવાદ મુજબ, આદર્શ વાયુ દ્વારા લાગતું દબાણ $P$ નીચે મુજબના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$
જ્યાં $\rho$ એ વાયુની ઘનતા છે અને $v_{rms}$ એ સરેરાશ વર્ગિત વેગનું વર્ગમૂળ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે એકમ કદ દીઠ ગતિ ઊર્જા $E$ નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{1}{2} \rho v_{rms}^2$
આના પરથી, આપણે લખી શકીએ કે $\rho v_{rms}^2 = 2E$.
આ કિંમતને દબાણના સમીકરણમાં મૂકતા:
$P = \frac{1}{3} (2E) = \frac{2}{3} E$
આમ, દબાણ એ વાયુના એકમ કદ દીઠ ગતિ ઊર્જાના $(2/3)$ ગણું છે.