Formation of differential equations Questions in Hindi

(A) चरण $1$: रेखा का समीकरण $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ है।
चरण $2$: $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\cos \alpha + \frac{dy}{dx} \sin \alpha = 0$।
चरण $3$: इससे हमें $\frac{dy}{dx} = - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = - \cot \alpha$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (- \cot \alpha) = 0$ (चूंकि $\alpha$ एक अचर है)।
चरण $5$: अतः, अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ है।

(A) चरण $1$: $(y - a)^2 = 4(x - b)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2(y - a) \frac{dy}{dx} = 4$, जो सरल होकर $(y - a) \frac{dy}{dx} = 2$ बनता है।
चरण $2$: $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} \cdot \frac{dy}{dx} + (y - a) \frac{d^2y}{dx^2} = 0$।
चरण $3$: चरण $1$ से, $(y - a) = \frac{2}{dy/dx}$। इसे चरण $2$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(\frac{dy}{dx})^2 + \frac{2}{dy/dx} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} = 0$।
चरण $4$: भिन्न को हटाने के लिए $\frac{dy}{dx}$ से गुणा करने पर: $(\frac{dy}{dx})^3 + 2 \frac{d^2y}{dx^2} = 0$।
चरण $5$: उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है, और इसकी घात $1$ है। अतः, घात $1$ है।

(A) चरण $1$: रेखा का अभिलंब रूप में समीकरण $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ है।
चरण $2$: $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\cos \alpha + \frac{dy}{dx} \sin \alpha = 0$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: इसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = -\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = -\cot \alpha$।
चरण $4$: $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-\cot \alpha) = 0$ (चूंकि $\alpha$ एक अचर है)।
चरण $5$: अतः, अभीष्ट अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ है।

(B) $y$-अक्ष पर स्थित परवलय का व्यापक समीकरण $y = ax^2 + b$ है।
चूंकि इसमें दो स्वेच्छ अचर $a$ और $b$ हैं, हम दो बार अवकलन करते हैं।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = 2ax$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2a$।
प्रथम अवकलज से, $a = \frac{1}{2x} \frac{dy}{dx}$।
$a$ का मान द्वितीय अवकलज में रखने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2 \left( \frac{1}{2x} \frac{dy}{dx} \right) = \frac{1}{x} \frac{dy}{dx}$।
इसे व्यवस्थित करने पर $x \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।