Homogeneous differential equations Questions in Hindi

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \tan \frac{y}{x}$.
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है।
माना $v = \frac{y}{x}$, इसलिए $y = vx$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v + \tan v$।
दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर: $x \frac{dv}{dx} = \tan v$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{\tan v} = \frac{dx}{x}$, जो कि $\cot v \, dv = \frac{dx}{x}$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \cot v \, dv = \int \frac{dx}{x}$।
इससे $\ln |\sin v| = \ln |x| + \ln |c|$ प्राप्त होता है।
लघुगणक के नियमों का उपयोग करने पर: $\ln |\sin v| = \ln |cx|$।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $\sin v = cx$।
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर: $\sin(\frac{y}{x}) = cx$, या $x = c \sin(\frac{y}{x})$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $y \frac{dy}{dx} = x \left[ \frac{y^2}{x^2} + \frac{\phi(y^2/x^2)}{\phi'(y^2/x^2)} \right]$.
$y$ से विभाजित करने पर, $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \frac{x \phi(y^2/x^2)}{y \phi'(y^2/x^2)}$ प्राप्त होता है।
माना $y = vx$, तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v + \frac{x \phi(v^2)}{vx \phi'(v^2)} = v + \frac{\phi(v^2)}{v \phi'(v^2)}$.
दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर: $x \frac{dv}{dx} = \frac{\phi(v^2)}{v \phi'(v^2)}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{v \phi'(v^2)}{\phi(v^2)} dv = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{v \phi'(v^2)}{\phi(v^2)} dv = \int \frac{dx}{x}$.
माना $u = v^2$, तब $du = 2v dv$, अर्थात $v dv = \frac{1}{2} du$.
समाकलन करने पर: $\frac{1}{2} \int \frac{\phi'(u)}{\phi(u)} du = \ln|x| + C_1$.
$\frac{1}{2} \ln|\phi(u)| = \ln|x| + C_1 \Rightarrow \ln|\phi(v^2)| = 2 \ln|x| + 2C_1 = \ln|x^2| + \ln|c|$.
अतः, $\phi(v^2) = c x^2$.
$v^2 = y^2/x^2$ रखने पर, $\phi(y^2/x^2) = c x^2$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $B$ एक लड़के को और $G$ एक लड़की को दर्शाता है। $2$ बच्चों के लिए संभावित परिणाम $\{BB, BG, GB, GG\}$ हैं, जहाँ प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता $1/4$ है।
यह दिया गया है कि कम से कम $1$ बच्चा लड़का है, इसलिए प्रतिदर्श समष्टि घटकर $S = \{BB, BG, GB\}$ हो जाती है।
घटी हुई प्रतिदर्श समष्टि में कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 3$ है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि दूसरा बच्चा लड़की है, जो उन परिणामों के अनुरूप है जहाँ ठीक $1$ लड़का और $1$ लड़की है। ये परिणाम $\{BG, GB\}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 2$ है।
अतः, अभीष्ट प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{2}{3}$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \sin(\frac{y}{x}) dy = (y \sin(\frac{y}{x}) - x) dx$ है।
$y = vx$ प्रतिस्थापित करने पर, $dy = v dx + x dv$ प्राप्त होता है।
समीकरण में मान रखने पर: $x \sin v (v dx + x dv) = (vx \sin v - x) dx$.
$vx \sin v dx + x^2 \sin v dv = vx \sin v dx - x dx$.
$x^2 \sin v dv = -x dx \Rightarrow \sin v dv = -\frac{1}{x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\cos v = -\ln|x| + C$.
$y(1) = \frac{\pi}{2}$ दिया गया है, इसलिए $v(1) = \frac{\pi}{2}$ होगा।
$-\cos(\frac{\pi}{2}) = -\ln(1) + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
अतः, $\cos(\frac{y}{x}) = \ln x$.
दिया है $\alpha = \cos(\frac{e^{12}}{e^{12}}) = \cos(1)$.
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2px + 2py + \alpha + 2 = 0$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{p^2 + (-p)^2 - (\alpha + 2)} = \sqrt{2p^2 - \alpha - 2}$ है।
शर्त $r \leq 6$ के लिए, $2p^2 - \alpha - 2 \leq 36$.
$2p^2 \leq 38 + \alpha$.
चूंकि $\alpha = \cos(1) \approx 0.54$, इसलिए $2p^2 \leq 38.54 \Rightarrow p^2 \leq 19.27$.
$p$ के संभावित पूर्णांक मान $p \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ हैं।
इस प्रकार, कुल $9$ मान प्राप्त होते हैं।

(B) दिया गया है $\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x - y}$। यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$, तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।
इन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x + vx}{x - vx} = \frac{1 + v}{1 - v}$।
$x\frac{dv}{dx} = \frac{1 + v}{1 - v} - v = \frac{1 + v - v + v^2}{1 - v} = \frac{1 + v^2}{1 - v}$।
चरों को पृथक करने पर: $\frac{1 - v}{1 + v^2} dv = \frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{1 + v^2} dv - \int \frac{v}{1 + v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$।
$\tan^{-1}(v) - \frac{1}{2} \ln(1 + v^2) = \ln|x| + C_1$।
$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln|x| + \frac{1}{2} \ln(1 + \frac{y^2}{x^2}) + C_1 = \ln|x| + \frac{1}{2} \ln(\frac{x^2 + y^2}{x^2}) + C_1$।
$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln|x| + \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2) - \ln|x| + C_1 = \ln((x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}}) + C_1$।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $e^{\tan^{-1}(\frac{y}{x})} = e^{C_1} (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}}$।
माना $e^{C_1} = \frac{1}{c}$, तब $c e^{\tan^{-1}(\frac{y}{x})} = (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}}$ या $c(x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} = e^{\tan^{-1}(\frac{y}{x})}$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 + y^2) dy = xy dx$ है, जिसे $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$, तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x(vx)}{x^2 + (vx)^2} = \frac{vx^2}{x^2(1 + v^2)} = \frac{v}{1 + v^2}$।
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1 + v^2} - v = \frac{v - v - v^3}{1 + v^2} = -\frac{v^3}{1 + v^2}$।
चरों को पृथक करने पर: $\frac{1 + v^2}{v^3} dv = -\frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (v^{-3} + v^{-1}) dv = -\int \frac{dx}{x} \implies -\frac{1}{2v^2} + \ln|v| = -\ln|x| + C$।
चूंकि $y = vx$, $v = y/x$, इसलिए $-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y/x| = -\ln|x| + C \implies -\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| - \ln|x| = -\ln|x| + C \implies -\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = C$।
दिया है $y(1) = 1$, तो $-\frac{1^2}{2(1)^2} + \ln(1) = C \implies C = -1/2$।
समीकरण $-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = -1/2$ है।
दिया है $y(x_0) = e$, तो $-\frac{x_0^2}{2e^2} + \ln(e) = -1/2 \implies -\frac{x_0^2}{2e^2} + 1 = -1/2$।
$-\frac{x_0^2}{2e^2} = -3/2 \implies x_0^2 = 3e^2 \implies x_0 = \pm \sqrt{3}e$।

(D) दिया गया समघातीय अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x - y}{x + y}$ है।
माना $y = vx$, तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x - vx}{x + vx} = \frac{1 - v}{1 + v}$।
$x\frac{dv}{dx} = \frac{1 - v}{1 + v} - v = \frac{1 - 2v - v^2}{1 + v}$।
चरों को पृथक करने पर: $\int \frac{1 + v}{1 - 2v - v^2} dv = \int \frac{1}{x} dx$।
माना $u = 1 - 2v - v^2$, तब $du = -2(1 + v) dv$, अतः $(1 + v) dv = -\frac{1}{2} du$।
$-\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \ln|x| + C$।
$-\frac{1}{2} \ln|1 - 2v - v^2| = \ln|x| + C$।
$1 - 2(\frac{y}{x}) - (\frac{y}{x})^2 = \frac{k}{x^2}$।
$x^2 - 2xy - y^2 = k$। चूँकि $x=0, y=0$, इसलिए $k=0$।
$x^2 - 2xy - y^2 = 0$, जो सरल रेखाओं के एक युग्म को दर्शाता है।

(B) दिया गया है $\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x - y}$।
माना $y = vx$, तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x + vx}{x - vx} = \frac{1 + v}{1 - v}$।
$x\frac{dv}{dx} = \frac{1 + v}{1 - v} - v = \frac{1 + v - v + v^2}{1 - v} = \frac{1 + v^2}{1 - v}$।
चरों को पृथक करने पर: $\int \frac{1 - v}{1 + v^2} dv = \int \frac{1}{x} dx$।
$\int \frac{1}{1 + v^2} dv - \int \frac{v}{1 + v^2} dv = \ln|x| + C$।
$\tan^{-1}(v) - \frac{1}{2} \ln(1 + v^2) = \ln|x| + C$।
$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln|x| + \frac{1}{2} \ln(1 + \frac{y^2}{x^2}) + C = \ln|x| + \frac{1}{2} \ln(\frac{x^2 + y^2}{x^2}) + C$।
$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln|x| + \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2) - \ln|x| + C = \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2) + C$।
$2\tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln(x^2 + y^2) + 2C$।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $e^{2\tan^{-1}(\frac{y}{x})} = e^{\ln(x^2 + y^2)} \cdot e^{2C} = k(x^2 + y^2)$।
यह $c(x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} = e^{\tan^{-1}(\frac{y}{x})}$ के रूप से मेल खाता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 + y^2) dy = xy dx$ है, जिसे $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$, तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
इन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x(vx)}{x^2 + (vx)^2} = \frac{vx^2}{x^2(1 + v^2)} = \frac{v}{1 + v^2}$।
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1 + v^2} - v = \frac{v - v - v^3}{1 + v^2} = -\frac{v^3}{1 + v^2}$।
चरों को पृथक करने पर: $\int \frac{1 + v^2}{v^3} dv = -\int \frac{1}{x} dx$।
$\int (v^{-3} + v^{-1}) dv = -\ln|x| + C$।
$-\frac{1}{2v^2} + \ln|v| = -\ln|x| + C \implies -\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y/x| = -\ln|x| + C$।
$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| - \ln|x| = -\ln|x| + C \implies \ln|y| - \frac{x^2}{2y^2} = C$।
दिया है $y(1) = 1$, अतः $\ln(1) - \frac{1^2}{2(1)^2} = C \implies C = -1/2$।
समीकरण $\ln|y| - \frac{x^2}{2y^2} = -1/2$ है।
दिया है $y(x_0) = e$, अतः $\ln(e) - \frac{x_0^2}{2e^2} = -1/2$।
$1 - \frac{x_0^2}{2e^2} = -1/2 \implies \frac{x_0^2}{2e^2} = 3/2 \implies x_0^2 = 3e^2 \implies x_0 = \pm \sqrt{3}e$।

(D) दिया गया समघातीय अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x - y}{x + y}$ है।
माना $y = vx$, तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x - vx}{x + vx} = \frac{1 - v}{1 + v}$।
$x \frac{dv}{dx} = \frac{1 - v}{1 + v} - v = \frac{1 - 2v - v^2}{1 + v}$।
चरों को पृथक करने पर: $\int \frac{1 + v}{1 - 2v - v^2} dv = \int \frac{1}{x} dx$।
माना $u = 1 - 2v - v^2$, तब $du = -2(1 + v) dv$।
$-\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \ln|x| + C \implies -\frac{1}{2} \ln|1 - 2v - v^2| = \ln|x| + C$।
$1 - 2(\frac{y}{x}) - (\frac{y}{x})^2 = \frac{K}{x^2}$।
$x^2 - 2xy - y^2 = K$। चूँकि यह $(0, 0)$ से गुजरता है, $K = 0$।
$x^2 - 2xy - y^2 = 0$। यह $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ के रूप का समीकरण है जहाँ $H^2 - AB = 2 > 0$, जो सरल रेखाओं के एक युग्म को दर्शाता है।