Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે કે $\vec{r} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{b}$, જેને આપણે $(\vec{r} - \vec{c}) \times \vec{b} = 0$ લખી શકીએ. આનો અર્થ એ છે કે કોઈ અદિશ $t$ માટે $\vec{r} - \vec{c} = t\vec{b}$, તેથી $\vec{r} = \vec{c} + t\vec{b}$ થાય.
$\vec{r} \cdot \vec{a} = 0$ માં $\vec{r}$ ની કિંમત મૂકતા, $(\vec{c} + t\vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$, જેનો અર્થ છે $\vec{c} \cdot \vec{a} + t(\vec{b} \cdot \vec{a}) = 0$.
$\vec{c} \cdot \vec{a} = (4)(2) + (-3)(0) + (7)(1) = 8 + 0 + 7 = 15$ ની ગણતરી કરો.
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (1)(2) + (1)(0) + (1)(1) = 2 + 0 + 1 = 3$ ની ગણતરી કરો.
આમ, $15 + 3t = 0$, જે આપણને $t = -5$ આપે છે.
હવે, $\vec{r} = \vec{c} - 5\vec{b} = (4\hat{i} - 3\hat{j} + 7\hat{k}) - 5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = -\hat{i} - 8\hat{j} + 2\hat{k}$.
અંતે, $\vec{r} \cdot \vec{c} = (-1)(4) + (-8)(-3) + (2)(7) = -4 + 24 + 14 = 34$.

(A) પગલું $1$: રેખાઓ $(2, 4, -4)$ પર છેદતી હોવાથી, આ બિંદુ બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે.
પગલું $2$: પ્રથમ રેખા માટે, $\vec{a} + \lambda\vec{b} = (2, 4, -4)$. બીજી રેખા માટે, $\vec{b} + \mu\vec{a} = (2, 4, -4)$.
પગલું $3$: બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(\vec{a} - \vec{b}) + (\lambda\vec{b} - \mu\vec{a}) = 0$. આનો અર્થ છે કે $\vec{a}(1 - \mu) = \vec{b}(1 - \lambda)$.
પગલું $4$: રેખાઓ એક જ બિંદુ પર છેદતી હોવાથી, $\vec{a} + \lambda\vec{b} = \vec{b} + \mu\vec{a} \implies \vec{a}(1 - \mu) = \vec{b}(1 - \lambda)$. જો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સમરેખ ન હોય, તો $1-\mu = 0$ અને $1-\lambda = 0$, તેથી $\lambda = 1$ અને $\mu = 1$.
પગલું $5$: પ્રથમ સમીકરણમાં $\lambda = 1$ મૂકતા: $\vec{a} + \vec{b} = (2, 4, -4)$.
પગલું $6$: આપણને $|\vec{a} - \vec{b}| = 4$ આપેલ છે. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 16$.
પગલું $7$: $\vec{a} + \vec{b} = (2, 4, -4)$ પરથી, $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 2^2 + 4^2 + (-4)^2 = 4 + 16 + 16 = 36$. તેથી $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 36$.
પગલું $8$: બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}) - (|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}) = 36 - 16 \implies 4\vec{a} \cdot \vec{b} = 20 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = 5$.

(D) આપેલ છે કે $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2$ મળે છે.
ગુણધર્મ $|\vec{u} \pm \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 \pm 2(\vec{u} \cdot \vec{v})$ નો ઉપયોગ કરતા, $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$ મળે, જેનો અર્થ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) \cdot (\alpha\hat{i} + \beta\hat{j} + 2\hat{k}) = 0$.
$2\alpha + 2\beta - 2 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા, $\alpha + \beta - 1 = 0$ મળે, તેથી $\alpha + \beta = 1$.

(B) બે સદિશો પરસ્પર લંબ હોય જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોય, એટલે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
આપેલ છે $\vec{a} = 2\hat{i} + \lambda\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(2)(1) + (\lambda)(2) + (1)(3) = 0$.
$2 + 2\lambda + 3 = 0$.
$2\lambda + 5 = 0$.
$2\lambda = -5$.
$\lambda = -\frac{5}{2}$.

(B) પગલું $1$: સદિશ $\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ શોધો.
$\vec{AB} = (4-2)\hat{i} + (a-4)\hat{j} + (9-3)\hat{k} = 2\hat{i} + (a-4)\hat{j} + 6\hat{k}$.
$\vec{BC} = (10-4)\hat{i} + (-1-a)\hat{j} + (7-9)\hat{k} = 6\hat{i} - (1+a)\hat{j} - 2\hat{k}$.
પગલું $2$: કારણ કે $\angle B = 90^\circ$ છે, તેથી ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0$ થશે.
પગલું $3$: ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $2(6) + (a-4)(-(1+a)) + 6(-2) = 0$.
પગલું $4$: સમીકરણનું સાદું રૂપ આપો: $12 - (a-4)(a+1) - 12 = 0$.
પગલું $5$: $a$ માટે ઉકેલો: $-(a-4)(a+1) = 0$, જે $(a-4)(a+1) = 0$ આપે છે.
તેથી, $a = 4$ અથવા $a = -1$.