Potentiometer Questions in Gujarati

(C) $1$. સૌ પ્રથમ, પરિપથનો કુલ અવરોધ ગણો: $R_{total} = R_{wire} + R_{series} + r = 5 \Omega + 992 \Omega + 3 \Omega = 1000 \Omega$.
$2$. પોટેન્શિયોમીટરના તારમાંથી વહેતો પ્રવાહ ગણો: $I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{4 \text{ V}}{1000 \Omega} = 4 \times 10^{-3} \text{ A} = 4 \text{ mA}$.
$3$. પોટેન્શિયોમીટરના તાર પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત ગણો: $V_{wire} = I \times R_{wire} = 4 \times 10^{-3} \text{ A} \times 5 \Omega = 20 \times 10^{-3} \text{ V} = 20 \text{ mV}$.
$4$. તાર પરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $(k)$: $k = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{20 \text{ mV}}{4 \text{ m}} = 5 \text{ mV/m}$.
$5$. $0.75 \text{ m}$ લંબાઈ દ્વારા સંતુલિત થતું e.m.f.: $E' = k \times l = 5 \text{ mV/m} \times 0.75 \text{ m} = 3.75 \text{ mV}$.

(C) પોટેન્શિયોમીટરમાં, કોષનું $E$.$M$.$F$. એ સંતુલન લંબાઈના સમપ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $E = k \cdot l$, જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
$1$. જ્યારે કોષ $E_1$ જોડવામાં આવે છે, ત્યારે સંતુલન લંબાઈ $l_1$ છે, તેથી $E_1 = k \cdot l_1$.
$2$. જ્યારે કોષો $E_1$ અને $E_2$ ને વિરોધમાં જોડવામાં આવે છે, ત્યારે અસરકારક $E$.$M$.$F$. $(E_1 - E_2)$ થાય છે અને સંતુલન લંબાઈ $l_2$ મળે છે, તેથી $(E_1 - E_2) = k \cdot l_2$.
$3$. બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{E_1}{E_1 - E_2} = \frac{k \cdot l_1}{k \cdot l_2} = \frac{l_1}{l_2}$.
$4$. સમીકરણને ગોઠવતા: $E_1 \cdot l_2 = l_1 \cdot (E_1 - E_2) \implies E_1 \cdot l_2 = E_1 \cdot l_1 - E_2 \cdot l_1$.
$5$. પદોને એકસાથે લાવતા: $E_2 \cdot l_1 = E_1 \cdot l_1 - E_1 \cdot l_2 = E_1(l_1 - l_2)$.
$6$. તેથી, $\frac{E_1}{E_2} = \frac{l_1}{l_1 - l_2}$.
આમ, $E_1 : E_2$ નો ગુણોત્તર $(l_1) : (l_1 - l_2)$ છે.

(D) ધારો કે બે કોષોના e.m.f. $E_1 = 1.5 \text{ V}$ અને $E_2 = 1.2 \text{ V}$ છે.
જ્યારે કોષો એકબીજાને મદદરૂપ થાય તે રીતે જોડાયેલા હોય, ત્યારે કુલ e.m.f. $E_{eq1} = E_1 + E_2 = 1.5 + 1.2 = 2.7 \text{ V}$ થાય.
સંતુલન લંબાઈ $l_1 = 270 \text{ cm}$ છે.
પોટેન્શિયોમીટરમાં, $E \propto l$, તેથી $E_{eq1} = k l_1$, જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
$2.7 = k \times 270 \implies k = \frac{2.7}{270} = 0.01 \text{ V/cm}$.
જ્યારે કોષો એકબીજાની વિરુદ્ધમાં જોડાયેલા હોય, ત્યારે કુલ e.m.f. $E_{eq2} = E_1 - E_2 = 1.5 - 1.2 = 0.3 \text{ V}$ થાય.
ધારો કે નવી સંતુલન લંબાઈ $l_2$ છે.
તેથી $E_{eq2} = k l_2$.
$0.3 = 0.01 \times l_2$.
$l_2 = \frac{0.3}{0.01} = 30 \text{ cm}$.

(C) પોટેન્શિયોમીટરમાં, સંતુલન લંબાઈ $l$ એ કોષના e.m.f. $E$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $E = kl$, જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયોમીટર વાયરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે પોટેન્શિયોમીટરને બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડવામાં આવે છે, ત્યારે માપવામાં આવતું e.m.f. $E_1$ છે. સંતુલન લંબાઈ $l_1 = 412 \text{ cm}$ આપેલ છે, તેથી:
$E_1 = k \times 412$ --- $(1)$
જ્યારે પોટેન્શિયોમીટરને બિંદુઓ $A$ અને $C$ વચ્ચે જોડવામાં આવે છે, ત્યારે પરિપથમાં કોષો વિરુદ્ધ દિશામાં જોડાયેલા હોવાથી, કુલ e.m.f. $E_1 - E_2$ થાય છે. સંતુલન લંબાઈ $l_2 = 103 \text{ cm}$ આપેલ છે, તેથી:
$E_1 - E_2 = k \times 103$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{E_1}{E_1 - E_2} = \frac{412}{103}$
$\frac{E_1}{E_1 - E_2} = 4$
$E_1 = 4(E_1 - E_2)$
$E_1 = 4E_1 - 4E_2$
$3E_1 = 4E_2$
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{4}{3}$
આમ, $E_1 : E_2$ નો ગુણોત્તર $4 : 3$ છે.

(A) $1$. સૌ પ્રથમ, પ્રાથમિક પરિપથમાં પોટેન્શિયોમીટરના તાર $AB$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ શોધો:
$I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{5 \text{ V}}{45 \text{ } \Omega + 5 \text{ } \Omega} = \frac{5}{50} \text{ A} = 0.1 \text{ A}$.
$2$. પોટેન્શિયોમીટરના તાર $AB$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ (સ્થિતિમાનનો તફાવત) શોધો:
$V_{AB} = I \times R_{AB} = 0.1 \text{ A} \times 5 \text{ } \Omega = 0.5 \text{ V}$.
$3$. તાર પરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ નીચે મુજબ મળે છે:
$k = \frac{V_{AB}}{L} = \frac{0.5 \text{ V}}{10 \text{ m}} = 0.05 \text{ V/m}$.
$4$. સંતુલન લંબાઈ $AP = l$ માટે, $AP$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ ગૌણ કોષના e.m.f. $(E' = 0.4 \text{ V})$ જેટલો હોવો જોઈએ:
$V_{AP} = k \times l = 0.4 \text{ V}$.
$0.05 \text{ V/m} \times l = 0.4 \text{ V}$.
$l = \frac{0.4}{0.05} \text{ m} = 8 \text{ m}$.
આમ, સંતુલન લંબાઈ $AP$ એ $8 \text{ m}$ છે.