Einstein's Photoelectric Equation and Energy Quantum of Radiation Questions in Gujarati

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ નીચે મુજબ છે:
$K_{max} = E - \Phi_0$
જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\Phi_0$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે.
આપેલ કટ-ઓફ આવૃત્તિ (થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ) $\nu$ હોવાથી, કાર્ય વિધેય $\Phi_0 = h\nu$ થાય.
$3\nu$ આવૃત્તિવાળા આપાત વિકિરણની ઊર્જા $E = h(3\nu) = 3h\nu$ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$K_{max} = 3h\nu - h\nu = 2h\nu$.
$K_{max} = \frac{1}{2}mv_{max}^2$ હોવાથી:
$\frac{1}{2}mv_{max}^2 = 2h\nu$
$v_{max}^2 = \frac{4h\nu}{m}$
$v_{max} = \sqrt{\frac{4h\nu}{m}} = 2\sqrt{\frac{h\nu}{m}}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, મહત્તમ ગતિઊર્જા $K = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\Phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda_1$ માટે, $K_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - \Phi$.
તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ માટે, $K_2 = \frac{hc}{\lambda_2} - \Phi$.
આપેલ છે કે $\lambda_1 = 3\lambda_2$, તેથી $K_1$ ના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$K_1 = \frac{hc}{3\lambda_2} - \Phi$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{hc}{\lambda_2} = K_2 + \Phi$, તેથી $K_1 = \frac{K_2 + \Phi}{3} - \Phi = \frac{K_2}{3} + \frac{\Phi}{3} - \Phi = \frac{K_2}{3} - \frac{2\Phi}{3}$.
અહીં $\Phi > 0$ હોવાથી, સાબિત થાય છે કે $K_1 < \frac{K_2}{3}$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનનું ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $K_{max} = h\nu - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $K_{max}$ એ ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા છે, $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે, $\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે અને $\Phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આ સમીકરણને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા, આપણને $y = K_{max}$, $x = \nu$, $m = h$ અને $c = -\Phi$ મળે છે.
$K_{max}$ વિરુદ્ધ $\nu$ ના આલેખનો ઢાળ $h$ (પ્લાન્કનો અચળાંક) છે.
$h$ એ સાર્વત્રિક અચળાંક હોવાથી, ઢાળ બધી ધાતુઓ માટે સમાન હોય છે અને તે આપાત વિકિરણની તીવ્રતાથી સ્વતંત્ર હોય છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ છે, જ્યાં $\phi$ એ કાર્યવિધેય છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે ($\lambda$ તરંગલંબાઈ): $K_1 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
બીજા કિસ્સા માટે ($\lambda/3$ તરંગલંબાઈ): $K_2 = \frac{hc}{(\lambda/3)} - \phi = \frac{3hc}{\lambda} - \phi$.
આપેલ છે કે $K_2 = 4K_1$, તેથી:
$\frac{3hc}{\lambda} - \phi = 4(\frac{hc}{\lambda} - \phi)$.
$\frac{3hc}{\lambda} - \phi = \frac{4hc}{\lambda} - 4\phi$.
$\phi$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$4\phi - \phi = \frac{4hc}{\lambda} - \frac{3hc}{\lambda}$.
$3\phi = \frac{hc}{\lambda}$.
$\phi = \frac{hc}{3\lambda}$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $eV = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$, જ્યાં $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $eV = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $e(\frac{V}{4}) = \frac{hc}{1.5\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $4$ વડે ગુણતા: $eV = \frac{4hc}{1.5\lambda} - \frac{4hc}{\lambda_0} = \frac{8hc}{3\lambda} - \frac{4hc}{\lambda_0}$ --- $(3)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ ને સરખાવતા: $\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{8hc}{3\lambda} - \frac{4hc}{\lambda_0}$
$\frac{4hc}{\lambda_0} - \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{8hc}{3\lambda} - \frac{hc}{\lambda}$
$\frac{3hc}{\lambda_0} = \frac{5hc}{3\lambda}$
$\frac{3}{\lambda_0} = \frac{5}{3\lambda}$
$\lambda_0 = \frac{9}{5}\lambda$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h\nu - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
બંને ફોટોકેથોડ સમાન હોવાથી, તેમનું વર્ક ફંક્શન $\phi$ સમાન રહેશે.
$n_1$ આવૃત્તિ માટે, ગતિઊર્જા $\frac{1}{2}mV_1^2 = hn_1 - \phi$ --- $(1)$
$n_2$ આવૃત્તિ માટે, ગતિઊર્જા $\frac{1}{2}mV_2^2 = hn_2 - \phi$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$\frac{1}{2}mV_1^2 - \frac{1}{2}mV_2^2 = (hn_1 - \phi) - (hn_2 - \phi)$
$\frac{1}{2}m(V_1^2 - V_2^2) = h(n_1 - n_2)$
$V_1^2 - V_2^2 = \frac{2h}{m}(n_1 - n_2)$.