Mutual Induction Questions in Hindi

(D) वर्गाकार लूप द्वारा उसके केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{\pi} \frac{4 \sin(45^\circ)}{L} = \frac{2\sqrt{2}\mu_0 I}{\pi L}$ है।
चूंकि वृत्ताकार लूप बहुत छोटा है $(L >> R)$, हम यह मान सकते हैं कि चुंबकीय क्षेत्र $B$ वृत्ताकार लूप के क्षेत्रफल पर समान है।
$R$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार लूप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \times A = B \times (\pi R^2)$ है।
$B$ का मान रखने पर, हमें $\phi = \left( \frac{2\sqrt{2}\mu_0 I}{\pi L} \right) \times (\pi R^2) = \frac{2\sqrt{2}\mu_0 I R^2}{L}$ प्राप्त होता है।
अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ को $M = \phi / I$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
इसलिए, $M = \frac{2\sqrt{2}\mu_0 R^2}{L}$ है।

(C) कुंडली $P$ में बदलती धारा के कारण कुंडली $Q$ में प्रेरित e.m.f. $\varepsilon$ का सूत्र $\varepsilon = -M \frac{dI}{dt}$ होता है।
दिया गया है कि कुंडली $P$ में धारा $I = I_0 \sin(\omega t)$ है।
धारा के परिवर्तन की दर ज्ञात करने पर: $\frac{dI}{dt} = \frac{d}{dt}(I_0 \sin(\omega t)) = I_0 \omega \cos(\omega t)$.
इस मान को e.m.f. के समीकरण में रखने पर: $\varepsilon = -M (I_0 \omega \cos(\omega t)) = -M I_0 \omega \cos(\omega t)$.
प्रेरित e.m.f. का परिमाण $|\varepsilon| = M I_0 \omega |\cos(\omega t)|$ है।
$\cos(\omega t)$ का अधिकतम मान $1$ होता है।
अतः, अधिकतम प्रेरित e.m.f. $\varepsilon_{\text{max}} = M \omega I_0$ होगा।

(A) सेकेंडरी कॉइल में प्रेरित e.m.f. $(e)$ का सूत्र है: $e = M \cdot \frac{dI}{dt}$, जहाँ $M$ म्यूचुअल इंडक्शन का गुणांक है, $dI$ धारा में परिवर्तन है और $dt$ समय अंतराल है।
दिए गए मान हैं: $M = 3 \text{ H}$, $e = 4 \text{ kV} = 4000 \text{ V}$, और $dI = I_1 - I_2 = 7 \text{ A} - 2 \text{ A} = 5 \text{ A}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $4000 = 3 \cdot \frac{5}{dt}$.
$dt$ के लिए हल करने पर: $dt = \frac{3 \cdot 5}{4000} = \frac{15}{4000} \text{ s}$.
$dt = 0.00375 \text{ s} = 3.75 \times 10^{-3} \text{ s}$.

(A) $I$ धारा वाली $r_1$ त्रिज्या की वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r_1}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $r_2 \ll r_1$, बड़ी कुंडली द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र छोटी कुंडली के क्षेत्रफल पर लगभग एकसमान रहता है।
$r_2$ त्रिज्या वाली छोटी कुंडली से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = \left( \frac{\mu_0 I}{2r_1} \right) (\pi r_2^2)$ है।
अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ को $M = \frac{\phi}{I}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$\phi$ का मान रखने पर, हमें $M = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2r_1}$ प्राप्त होता है।

(D) $I$ धारा वाली $R$ त्रिज्या की बड़ी वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $R \gg r$, चुंबकीय क्षेत्र $B$ छोटी कुंडली के क्षेत्रफल पर लगभग एकसमान रहता है।
छोटी कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A$ है, जहाँ $A = \pi r^2$ छोटी कुंडली का क्षेत्रफल है।
इसलिए, $\phi = \left( \frac{\mu_0 I}{2R} \right) (\pi r^2) = \left( \frac{\mu_0 \pi r^2}{2R} \right) I$.
अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ को संबंध $\phi = MI$ द्वारा परिभाषित किया जाता है, इसलिए $M = \frac{\mu_0 \pi r^2}{2R}$.
अतः, $M \propto \frac{r^2}{R}$.

(C) युग्मन गुणांक $k$ को सूत्र $M = k \sqrt{L_1 L_2}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ $M$ अन्योन्य प्रेरकत्व है और $L_1, L_2$ दोनों कुंडलियों के स्व-प्रेरकत्व हैं।
दी गई मान हैं: $L_1 = 75 \text{ mH}$, $L_2 = 48 \text{ mH}$ और $M = 37.2 \text{ mH}$।
$k$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $k = \frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $k = \frac{37.2}{\sqrt{75 \times 48}}$।
गुणनफल की गणना करने पर: $75 \times 48 = 3600$।
वर्गमूल लेने पर: $\sqrt{3600} = 60$।
अब, $k = \frac{37.2}{60} = 0.62$।
अतः, युग्मन गुणांक $0.62$ है।

(B) $r_1$ त्रिज्या वाली और $I$ धारा ले जाने वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 r_1}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $r_1 > r_2$, हम मानते हैं कि छोटी कुंडली (त्रिज्या $r_2$) बड़ी कुंडली (त्रिज्या $r_1$) द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र में रखी गई है।
छोटी कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A_2$ है, जहाँ $A_2 = \pi r_2^2$ छोटी कुंडली का क्षेत्रफल है।
$\phi = \left( \frac{\mu_0 I}{2 r_1} \right) (\pi r_2^2) = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2 r_1} I$.
अन्योन्य प्रेरण $M$ को संबंध $\phi = M I$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर, हमें $M = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2 r_1}$ प्राप्त होता है।

(B) दूसरी कुंडली में प्रेरित e.m.f. का सूत्र $\varepsilon = -M \frac{dI}{dt}$ है।
दिया गया है, $M = 0.005 \text{ H}$, $I = I_0 \sin \omega t$, $I_0 = 10 \text{ A}$, और $\omega = 60\pi \text{ rad s}^{-1}$।
धारा का समीकरण रखने पर: $\varepsilon = -M \frac{d}{dt}(I_0 \sin \omega t) = -M I_0 \omega \cos \omega t$।
प्रेरित e.m.f. का परिमाण $|\varepsilon| = M I_0 \omega |\cos \omega t|$ है।
e.m.f. का अधिकतम मान $(\varepsilon_{max})$ तब प्राप्त होता है जब $|\cos \omega t| = 1$ हो।
अतः, $\varepsilon_{max} = M I_0 \omega$।
मान रखने पर: $\varepsilon_{max} = 0.005 \times 10 \times 60\pi$।
$\varepsilon_{max} = 0.05 \times 60\pi = 3\pi \text{ V}$।
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(C) अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ का सूत्र $M = \frac{N_2 \phi_2}{I_1}$ है।
दिया गया है:
$I_1 = 6$ $A$
$\phi_2 = 12 \times 10^{-4}$ $Wb/turn$
$N_2 = 2000$ फेरे
मान रखने पर:
$M = \frac{2000 \times 12 \times 10^{-4}}{6}$
$M = \frac{24000 \times 10^{-4}}{6}$
$M = \frac{2.4}{6} = 0.4$ $H$.

(D) द्वितीयक कुंडली में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = M \frac{dI_p}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $I_p = 12 \sin(50\pi t)$, अतः $\frac{dI_p}{dt} = 12 \times 50\pi \cos(50\pi t) = 600\pi \cos(50\pi t)$।
अधिकतम प्रेरित $EMF$ $\varepsilon_{max} = M \times (600\pi) = (\pi \times 10^{-3}) \times 600\pi = 600\pi^2 \times 10^{-3} \text{ V}$ है।
$\pi^2 = 10$ लेने पर, $\varepsilon_{max} = 600 \times 10 \times 10^{-3} = 6 \text{ V}$ प्राप्त होता है।
द्वितीयक कुंडली की प्रतिबाधा (Impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ है, जहाँ $X_L = \omega L$ है।
यहाँ $\omega = 50\pi \text{ rad/s}$ और $L = (60/\pi) \times 10^{-3} \text{ H}$ है।
$X_L = 50\pi \times \frac{60}{\pi} \times 10^{-3} = 3000 \times 10^{-3} = 3 \text{ } \Omega$।
$Z = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ } \Omega$।
अधिकतम प्रेरित धारा $I_{s,max} = \frac{\varepsilon_{max}}{Z} = \frac{6}{5} = 1.2 \text{ A}$ है।