Refraction Through Prism Questions in Gujarati

(B) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે, પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^\circ$ છે.
ધારો કે પ્રકાશનું કિરણ પ્રથમ સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થાય છે, તેથી આપાતકોણ $i_1 = 0^\circ$ અને વક્રીભવનકોણ $r_1 = 0^\circ$ છે.
પ્રિઝમની અંદર, બીજી સપાટી (રંગીન સપાટી) પર આપાતકોણ $r_2 = A - r_1 = 60^\circ - 0^\circ = 60^\circ$ છે.
રંગીન સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થવા માટે, આપાતકોણ $r_2$ એ પ્રિઝમ અને રંગીન પદાર્થ વચ્ચેના અંતરાય માટેના ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
આમ, $r_2 \geq C$, જેનો અર્થ છે કે $\sin(r_2) \geq \sin(C)$.
આપેલ છે કે $\sin(C) = \frac{n_2}{\mu_{\text{prism}}}$, તેથી $\sin(60^\circ) \geq \frac{n_2}{1.6}$.
$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મૂકતા, આપણને મળે છે $\frac{\sqrt{3}}{2} \geq \frac{n_2}{1.6}$.
$n_2$ માટે ઉકેલતા, $n_2 \leq 1.6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.8\sqrt{3}$.
આમ, $n_2$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $0.8\sqrt{3}$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ, પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક $\mu$ સૂત્ર $\mu = \frac{c}{v}$ નો ઉપયોગ કરીને શોધો, જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે અને $v = 2.12 \times 10^8 \text{ m/s}$ એ પ્રિઝમમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
$\mu = \frac{3 \times 10^8}{2.12 \times 10^8} \approx 1.414 = \sqrt{2}$.
સમબાજુ પ્રિઝમ માટે, પ્રિઝમનો કોણ $A = 60^\circ$ છે. લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m$ ના સંદર્ભમાં વક્રીભવનાંકનું સૂત્ર $\mu = \frac{\sin((A+\delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{2} = \frac{\sin((60^\circ + \delta_m)/2)}{\sin(30^\circ)}$.
કારણ કે $\sin(30^\circ) = 0.5$, તેથી $\sqrt{2} = \frac{\sin(30^\circ + \delta_m/2)}{0.5}$.
$\sin(30^\circ + \delta_m/2) = 0.5 \times \sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આનો અર્થ એ છે કે $30^\circ + \delta_m/2 = 45^\circ$.
$\delta_m/2 = 15^\circ$, તેથી $\delta_m = 30^\circ$.

(C) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે, પ્રિઝમનો કોણ $A = 60^\circ$ છે.
આપેલ છે કે લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m = A/2 = 60^\circ / 2 = 30^\circ$ છે.
વક્રીભવનાંક $\mu$ માટેનું સૂત્ર $\mu = \frac{\sin((A+\delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા, આપણને મળે છે $\mu = \frac{\sin((60^\circ + 30^\circ)/2)}{\sin(60^\circ/2)} = \frac{\sin(45^\circ)}{\sin(30^\circ)}$.
કારણ કે $\sin(45^\circ) = 1/\sqrt{2}$ અને $\sin(30^\circ) = 1/2$, તેથી $\mu = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(D) સમબાજુ પ્રિઝમમાં, પ્રિઝમનો કોણ $A = 60^\circ$ હોય છે.
જ્યારે વક્રીભૂત કિરણ પાયાને સમાંતર હોય, ત્યારે પ્રિઝમ લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં હોય છે.
આ સ્થિતિમાં, આપાતકોણ $i$ એ નિર્ગમનકોણ $e$ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે કે, $i = 50^\circ$, તેથી $e = 50^\circ$.
વિચલનકોણ $(\delta)$ નું સૂત્ર: $\delta = i + e - A$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\delta = 50^\circ + 50^\circ - 60^\circ$.
$\delta = 100^\circ - 60^\circ = 40^\circ$.

(C) પાતળા પ્રિઝમ માટે, લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta$ નું સૂત્ર છે: $\delta = (n - 1)A$, જ્યાં $n$ એ આસપાસના માધ્યમની સાપેક્ષ પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે અને $A$ એ પ્રિઝમ કોણ છે.
હવામાં, $\delta_1 = (^a n_g - 1)A = (\frac{3}{2} - 1)A = \frac{1}{2}A$.
જ્યારે પ્રિઝમને પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રવાહીની સાપેક્ષ પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક $^l n_g = \frac{^a n_g}{^a n_l} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$ થાય છે.
નવો લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_2 = (^l n_g - 1)A = (\frac{9}{8} - 1)A = \frac{1}{8}A$.
$\delta_1$ અને $\delta_2$ ની સરખામણી કરતા: $\frac{\delta_2}{\delta_1} = \frac{1/8 A}{1/2 A} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
તેથી, $\delta_2 = \frac{1}{4} \delta_1$.

(C) પાતળા પ્રિઝમ માટે, લઘુત્તમ વિચલનકોણ $\delta$ નું સૂત્ર: $\delta = (\mu - 1)A$ છે, જ્યાં $\mu$ એ આસપાસના માધ્યમની સાપેક્ષ પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક છે અને $A$ એ પ્રિઝમનો ખૂણો છે.
હવામાં, પ્રિઝમનો હવાની સાપેક્ષ વક્રીભવનાંક $\mu_a = \frac{\mu_g}{\mu_{air}} = \frac{3/2}{1} = 3/2$ છે.
તેથી, $\delta = (3/2 - 1)A = \frac{1}{2}A$.
જ્યારે પ્રિઝમને પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે, ત્યારે પાણીની સાપેક્ષ પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક $\mu_w = \frac{\mu_g}{\mu_w} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$ થાય છે.
નવો લઘુત્તમ વિચલનકોણ $\delta'$ આ મુજબ મળે: $\delta' = (\mu_w - 1)A = (9/8 - 1)A = \frac{1}{8}A$.
$\delta'$ અને $\delta$ ની સરખામણી કરતા: $\frac{\delta'}{\delta} = \frac{(1/8)A}{(1/2)A} = \frac{1}{4}$.
તેથી, $\delta' = \frac{\delta}{4}$.

(A) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે, પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^{\circ}$ છે.
આપેલ વક્રીભવનાંક $\mu = \sqrt{2}$ છે.
બહાર નીકળતું કિરણ બીજી સપાટીને સ્પર્શીને જાય છે, એટલે કે નિર્ગમન કોણ $e = 90^{\circ}$ છે.
બીજી સપાટી પર, સ્નેલના નિયમ મુજબ: $\mu \sin r_2 = 1 \cdot \sin e$.
$\sqrt{2} \sin r_2 = \sin 90^{\circ} = 1 \implies \sin r_2 = 1/\sqrt{2} \implies r_2 = 45^{\circ}$.
$r_1 + r_2 = A$ હોવાથી, $r_1 + 45^{\circ} = 60^{\circ} \implies r_1 = 15^{\circ}$.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $1 \cdot \sin i = \mu \sin r_1$.
$\sin i = \sqrt{2} \sin 15^{\circ} \implies i = \sin^{-1} (\sqrt{2} \sin 15^{\circ})$.

(B) ધારો કે પ્રથમ સપાટી પરનો આપાતકોણ $i = 2A$ છે અને વક્રીભૂતકોણ $r_1$ છે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમ મુજબ: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1} = \frac{\sin 2A}{\sin r_1}$.
પ્રિઝમ માટે, વક્રીભવનકારક કોણ $A = r_1 + r_2$ થાય.
પ્રકાશનું કિરણ બીજી સપાટી પર પરાવર્તન પામ્યા બાદ તે જ માર્ગે પાછું ફરે છે, તેનો અર્થ એ કે તે બીજી સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થાય છે.
તેથી, બીજી સપાટી પરનો આપાતકોણ $0$ છે, જેનો અર્થ છે કે વક્રીભૂતકોણ $r_2 = 0$ છે.
$r_2 = 0$ ને પ્રિઝમના સમીકરણમાં મૂકતા: $A = r_1 + 0$, તેથી $r_1 = A$.
હવે, $r_1 = A$ ને સ્નેલના નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા: $\mu = \frac{\sin 2A}{\sin A}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 2A = 2 \sin A \cos A$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે: $\mu = \frac{2 \sin A \cos A}{\sin A} = 2 \cos A$.
આમ, પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક $2 \cos A$ છે.

(C) પાતળા પ્રિઝમ માટે, લઘુત્તમ વિચલન કોણ $(\delta_m)$ નું સૂત્ર $\delta_m = (\mu - 1)A$ છે, જ્યાં $\mu$ વક્રીભવનાંક છે અને $A$ એ પ્રિઝમનો કોણ છે.
અહીં $\mu = 1.5$ આપેલ છે, તેથી $\delta_m = (1.5 - 1)A = 0.5A = \frac{A}{2}$ થાય.
પાતળા પ્રિઝમ માટે, વક્રીભવન કોણ $r$ અને પ્રિઝમ કોણ $A$ વચ્ચેનો સંબંધ $A = 2r$ છે (કારણ કે લઘુત્તમ વિચલન સ્થિતિમાં $r_1 = r_2 = r$ અને $A = r_1 + r_2$ હોય છે).
હવે, $A = 2r$ ને $\delta_m$ ના સૂત્રમાં મૂકતા, આપણને $\delta_m = \frac{2r}{2} = r$ મળે છે.
આમ, સાચો સંબંધ $\delta_m = r$ છે.

(D) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે, પ્રિઝમનો કોણ $A = 60^\circ$ છે.
આપેલ આલેખ પરથી, લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m = 30^\circ$ છે જે $i = 45^\circ$ પર મળે છે.
વક્રીભવનાંક $\mu$ નું સૂત્ર:
$\mu = \frac{\sin(\frac{A + \delta_m}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$
કિંમતો મૂકતા:
$\mu = \frac{\sin(\frac{60^\circ + 30^\circ}{2})}{\sin(\frac{60^\circ}{2})} = \frac{\sin(45^\circ)}{\sin(30^\circ)}$
$\mu = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$।
આમ, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.