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Question

(D) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} -x^3 + 1, & x \leq 1 \ |x - 1| + \lambda, & x > 1 \end{cases}$ है।$x = 1$ पर,फलन का मान $f(1) = -(1)^3 + 1 = 0

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$f(x)$ का $x = 1$ पर निम्निष्ठ बिंदु है,$\forall \lambda > 0$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} -x^3 + 1, & x \leq 1 \ |x - 1| + \lambda, & x > 1 \end{cases}$ है।$x = 1$ पर,फलन का मान $f(1) = -(1)^3 + 1 = 0$ है।$x > 1$ के लिए,$f(x) = |x - 1| + \lambda = (x - 1) + \lambda$ होता है।जैसे $x 	o 1^+$,वैसे ही $f(x) 	o \lambda$ होता है।$x = 1$ को निम्निष्ठ बिंदु होने के लिए,$1$ के पड़ोस में सभी $x$ के लिए $f(1) \leq f(x)$ होना चाहिए।चूंकि $f(1) = 0$,इसलिए फलन के निरंतर रहने या दाईं ओर की सीमा के सापेक्ष $x=1$ पर न्यूनतम बनाए रखने के लिए $0 \leq \lambda$ आवश्यक है।विशेष रूप से,यदि $\lambda > 0$ है,तो $1$ से थोड़े बड़े $x$ के लिए,$f(x) = (x-1) + \lambda > 0 = f(1)$ होता है।अतः,सभी $\lambda > 0$ के लिए $f(x)$ का $x = 1$ पर निम्निष्ठ बिंदु है।

यदि $f(x) = \begin{cases} -x^3 + 1, & \text{यदि } -\infty < x \leq 1 \\ |x - 1| + \lambda, & \text{यदि } x > 1 \end{cases}$,तो:

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मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} 0, & \text{यदि } -1 \leq x < 0 \\ 1, & \text{यदि } x = 0 \\ 2, & \text{यदि } 0 < x \leq 1 \end{cases}$ और मान लीजिए $F(x) = \int_{-1}^{x} f(t) \, dt, -1 \leq x \leq 1$. तो:

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निम्नलिखित फलन की सांतत्यता की जाँच कीजिए: $f(x) = \frac{1}{x-5}, x \neq 5$.

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