A और B ऐसे 3 times 3 आव्यूह हैं कि AB + A + B | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण $AB + A + B = 0$ है।दोनों पक्षों में तत्समक आव्यूह $I$ जोड़ने पर,हमें $AB + A + B + I = I$ प्राप्त होता है।इसे गुणनखंडित करने पर $

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$(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$

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(A) दिया गया समीकरण $AB + A + B = 0$ है।दोनों पक्षों में तत्समक आव्यूह $I$ जोड़ने पर,हमें $AB + A + B + I = I$ प्राप्त होता है।इसे गुणनखंडित करने पर $A(B + I) + I(B + I) = I$ मिलता है,जो सरल होकर $(A + I)(B + I) = I$ हो जाता है।चूंकि दो आव्यूहों का गुणनफल तत्समक आव्यूह है,इसलिए वे क्रमविनिमेय हैं,अर्थात $(A + I)(B + I) = (B + I)(A + I) = I$।इसका विस्तार करने पर,हमें $AB + A + B + I = BA + B + A + I$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों से $A + B + I$ घटाने पर,हमें $AB = BA$ प्राप्त होता है।चूंकि $A$ और $B$ क्रमविनिमेय हैं,इसलिए द्विपद विस्तार मान्य है: $(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 = A^2 + 2AB + B^2$।

$A$ और $B$ ऐसे $3 \times 3$ आव्यूह हैं कि $AB + A + B = 0$,तो:

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यदि $A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{bmatrix}$,जहाँ $x, y \in \mathbb{N}$,तो:

$\left|\begin{array}{cc}\log _5 729 & \log _3 5 \\ \log _5 27 & \log _9 25\end{array}\right| \times \left|\begin{array}{cc}\log _3 5 & \log _{27} 5 \\ \log _5 9 & \log _5 9\end{array}\right|$ का मान है

यदि $A_i = \begin{bmatrix} a^i & b^i \\ b^i & a^i \end{bmatrix}$ और यदि $|a| < 1, |b| < 1$ है,तो $\sum_{i=1}^{\infty} \det(A_i)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $a_1, a_2, \ldots, a_9$ एक $G.P.$ में हैं,तो $\left|\begin{array}{lll}\log a_1 & \log a_2 & \log a_3 \\ \log a_4 & \log a_5 & \log a_6 \\ \log a_7 & \log a_8 & \log a_9\end{array}\right|$ का मान क्या होगा?

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