यदि A_i = begin{bmatrix} a^i & b^i b^i & a^i | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $A_i = \begin{bmatrix} a^i & b^i \ b^i & a^i \end{bmatrix}$।$A_i$ का सारणिक $\det(A_i) = (a^i)(a^i) - (b^i)(b^i) = a^{2i} - b^{2i}$ ह

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$\frac{a^2 - b^2}{(1-a^2)(1-b^2)}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $A_i = \begin{bmatrix} a^i & b^i \ b^i & a^i \end{bmatrix}$।$A_i$ का सारणिक $\det(A_i) = (a^i)(a^i) - (b^i)(b^i) = a^{2i} - b^{2i}$ है।हमें योग $S = \sum_{i=1}^{\infty} \det(A_i) = \sum_{i=1}^{\infty} (a^{2i} - b^{2i})$ की गणना करनी है।चूंकि $|a| $S = \sum_{i=1}^{\infty} a^{2i} - \sum_{i=1}^{\infty} b^{2i}$।एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $\sum_{i=1}^{\infty} r^i = \frac{r}{1-r}$ होता है,जहाँ $|r| अतः,$\sum_{i=1}^{\infty} a^{2i} = \frac{a^2}{1-a^2}$ और $\sum_{i=1}^{\infty} b^{2i} = \frac{b^2}{1-b^2}$ है।इसलिए,$S = \frac{a^2}{1-a^2} - \frac{b^2}{1-b^2}$।सामान्य हर लेने पर: $S = \frac{a^2(1-b^2) - b^2(1-a^2)}{(1-a^2)(1-b^2)} = \frac{a^2 - a^2b^2 - b^2 + a^2b^2}{(1-a^2)(1-b^2)} = \frac{a^2 - b^2}{(1-a^2)(1-b^2)}$।

यदि $A_i = \begin{bmatrix} a^i & b^i \\ b^i & a^i \end{bmatrix}$ और यदि $|a| < 1, |b| < 1$ है,तो $\sum_{i=1}^{\infty} \det(A_i)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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