int {{x^x}(1 + ln x)dx} का मान ज्ञात कीजिए : | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int x^x (1 + \ln x) dx$ है।फलन $f(x) = x^x$ पर विचार करें।$f(x)$ का अवकलन करने के लिए,दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:$\ln f(x

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$x^x + C$

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(A) माना $I = \int x^x (1 + \ln x) dx$ है।फलन $f(x) = x^x$ पर विचार करें।$f(x)$ का अवकलन करने के लिए,दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:$\ln f(x) = \ln(x^x) = x \ln x$।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{1}{f(x)} f'(x) = \frac{d}{dx}(x \ln x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$।अतः,$f'(x) = f(x) (1 + \ln x) = x^x (1 + \ln x)$।चूंकि समाकल्य $\int f'(x) dx$ के रूप में है,इसलिए इसका समाकलन $f(x) + C$ होगा।अतः,$I = x^x + C$।

$\int {{x^x}(1 + \ln x)dx} $ का मान ज्ञात कीजिए :-

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