यदि {I_n} = intlimits_0^{frac{pi }{4}} {{{tan | vedclass

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Question

(B) हमें ${I_n} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{	an }^n}x\,dx}$ दिया गया है।योग ${I_n} + {I_{n - 2}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {(	an^n x

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(B) हमें ${I_n} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{	an }^n}x\,dx}$ दिया गया है।योग ${I_n} + {I_{n - 2}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {(	an^n x + 	an^{n-2} x) dx}$ पर विचार करें।${	an^{n-2} x}$ को उभयनिष्ठ लेने पर,${I_n} + {I_{n - 2}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {	an^{n-2} x (1 + 	an^2 x) dx}$ प्राप्त होता है।चूँकि $1 + 	an^2 x = \sec^2 x$,इसलिए ${I_n} + {I_{n - 2}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {	an^{n-2} x \sec^2 x dx}$।माना $u = 	an x$,तो $du = \sec^2 x dx$। जब $x=0, u=0$ और जब $x=\pi/4, u=1$।अतः,${I_n} + {I_{n - 2}} = \int\limits_0^1 {u^{n-2} du} = \left[ \frac{u^{n-1}}{n-1} ight]_0^1 = \frac{1}{n-1}$।अब,सीमा का मान ज्ञात करते हैं: $\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } n({I_n} + {I_{n - 2}}) = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{n}{n-1}$।अंश और हर को $n$ से विभाजित करने पर,$\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{1}{1 - 1/n} = 1$ प्राप्त होता है।

यदि ${I_n} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^n}x\,dx}$ है,तो $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,n({I_n} + {I_{n - 2}})$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $[x]$ महत्तम पूर्णांक $\leq x$ है,तो $\pi^{2} \int_{0}^{2}\left(\sin \frac{\pi x}{2}\right)(x-[x])^{[x]} d x$ का मान ज्ञात कीजिए :

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$\int_3^5(x-3)^3(5-x)^5 d x=$

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