यदि [x] महत्तम पूर्णांक leq x है,तो pi^{2} in | vedclass

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Question

(B) माना $I = \pi^{2} \int_{0}^{2} \sin \frac{\pi x}{2} (x-[x])^{[x]} dx$. चूंकि $x \in [0, 1)$ के लिए $[x] = 0$ और $x \in [1, 2)$ के लिए $[x] = 1$ है

Vedclass · Accepted Answer

$4(\pi-1)$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \pi^{2} \int_{0}^{2} \sin \frac{\pi x}{2} (x-[x])^{[x]} dx$. चूंकि $x \in [0, 1)$ के लिए $[x] = 0$ और $x \in [1, 2)$ के लिए $[x] = 1$ है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं: $I = \pi^{2} \left[ \int_{0}^{1} \sin \frac{\pi x}{2} (x-0)^0 dx + \int_{1}^{2} \sin \frac{\pi x}{2} (x-1)^1 dx \right]$ $I = \pi^{2} \left[ \int_{0}^{1} \sin \frac{\pi x}{2} dx + \int_{1}^{2} (x-1) \sin \frac{\pi x}{2} dx \right]$ प्रथम भाग के लिए: $\int_{0}^{1} \sin \frac{\pi x}{2} dx = [-\frac{2}{\pi} \cos \frac{\pi x}{2}]_0^1 = 0 - (-\frac{2}{\pi}) = \frac{2}{\pi}$. दूसरे भाग के लिए,खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए: $\int (x-1) \sin \frac{\pi x}{2} dx = (x-1)(-\frac{2}{\pi} \cos \frac{\pi x}{2}) - \int 1 \cdot (-\frac{2}{\pi} \cos \frac{\pi x}{2}) dx = -\frac{2(x-1)}{\pi} \cos \frac{\pi x}{2} + \frac{4}{\pi^2} \sin \frac{\pi x}{2}$. $1$ से $2$ की सीमा में मान रखने पर: $[-\frac{2(2-1)}{\pi} \cos \pi + \frac{4}{\pi^2} \sin \pi] - [-\frac{2(1-1)}{\pi} \cos \frac{\pi}{2} + \frac{4}{\pi^2} \sin \frac{\pi}{2}] = [\frac{2}{\pi} + 0] - [0 + \frac{4}{\pi^2}] = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi^2}$. दोनों भागों का योग करने पर: $I = \pi^2 [\frac{2}{\pi} + \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi^2}] = \pi^2 [\frac{4}{\pi} - \frac{4}{\pi^2}] = 4\pi - 4 = 4(\pi-1)$.

यदि $[x]$ महत्तम पूर्णांक $\leq x$ है,तो $\pi^{2} \int_{0}^{2}\left(\sin \frac{\pi x}{2}\right)(x-[x])^{[x]} d x$ का मान ज्ञात कीजिए :

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$\int_0^\pi \frac{\theta \sin \theta}{1+\cos ^2 \theta} d \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^2 x^8\left(\frac{4}{x^2}-1\right)^{5 / 2} d x=$

मान लीजिए $\int_{-2}^{2} (|\sin x| + [x \sin x]) dx = 2(3 - \cos 2) + \beta$, जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है। तो $\beta \sin(\frac{\beta}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए:

$n > 0$ के लिए,$\int_0^{2\pi } {\frac{{x{{\sin }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}\,dx = } $

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