જો [x] એ મહત્તમ પૂર્ણાંક leq x હોય,તો pi^{2} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \pi^{2} \int_{0}^{2} \sin \frac{\pi x}{2} (x-[x])^{[x]} dx$. કારણ કે $x \in [0, 1)$ માટે $[x] = 0$ અને $x \in [1, 2)$ માટે $[x] = 1$

Vedclass · Accepted Answer

$4(\pi-1)$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \pi^{2} \int_{0}^{2} \sin \frac{\pi x}{2} (x-[x])^{[x]} dx$. કારણ કે $x \in [0, 1)$ માટે $[x] = 0$ અને $x \in [1, 2)$ માટે $[x] = 1$ છે,તેથી આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીએ છીએ: $I = \pi^{2} \left[ \int_{0}^{1} \sin \frac{\pi x}{2} (x-0)^0 dx + \int_{1}^{2} \sin \frac{\pi x}{2} (x-1)^1 dx \right]$ $I = \pi^{2} \left[ \int_{0}^{1} \sin \frac{\pi x}{2} dx + \int_{1}^{2} (x-1) \sin \frac{\pi x}{2} dx \right]$ પ્રથમ ભાગ માટે: $\int_{0}^{1} \sin \frac{\pi x}{2} dx = [-\frac{2}{\pi} \cos \frac{\pi x}{2}]_0^1 = 0 - (-\frac{2}{\pi}) = \frac{2}{\pi}$. બીજા ભાગ માટે,ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int (x-1) \sin \frac{\pi x}{2} dx = (x-1)(-\frac{2}{\pi} \cos \frac{\pi x}{2}) - \int 1 \cdot (-\frac{2}{\pi} \cos \frac{\pi x}{2}) dx = -\frac{2(x-1)}{\pi} \cos \frac{\pi x}{2} + \frac{4}{\pi^2} \sin \frac{\pi x}{2}$. $1$ થી $2$ ની મર્યાદામાં કિંમત મૂકતા: $[-\frac{2(2-1)}{\pi} \cos \pi + \frac{4}{\pi^2} \sin \pi] - [-\frac{2(1-1)}{\pi} \cos \frac{\pi}{2} + \frac{4}{\pi^2} \sin \frac{\pi}{2}] = [\frac{2}{\pi} + 0] - [0 + \frac{4}{\pi^2}] = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi^2}$. બંને ભાગનો સરવાળો કરતા: $I = \pi^2 [\frac{2}{\pi} + \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi^2}] = \pi^2 [\frac{4}{\pi} - \frac{4}{\pi^2}] = 4\pi - 4 = 4(\pi-1)$.

જો $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક $\leq x$ હોય,તો $\pi^{2} \int_{0}^{2}\left(\sin \frac{\pi x}{2}\right)(x-[x])^{[x]} d x$ ની કિંમત શોધો :

Similar Questions

ધારો કે $f$ અને $g$ એ $[0, a]$ પર સતત વિધેયો છે જેથી $f(x)=f(a-x)$ અને $g(x)+g(a-x)=4$ થાય,તો $\int_0^a f(x) g(x) d x$ ની કિંમત શું થાય?

$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^2 x \cos ^2 x(\sin x+\cos x) d x=$

જો $f$ અને $g$ એ $[0, a]$ માં સતત વિધેયો હોય જે $f(x) = f(a - x)$ અને $g(x) + g(a - x) = 4$ નું સમાધાન કરે છે,તો $\int_{0}^{a} f(x) g(x) dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^3 x}{\sin x+\cos x} d x=$

જો $\int\limits_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = k \int\limits_0^\pi \ln(1 + \cos x) dx$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module