मान लीजिए int_{-2}^{2} (|sin x| + [x sin x]) | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $I = \int_{-2}^2 (|\sin x| + [x \sin x]) dx$. चूँकि $|\sin x|$ एक सम फलन है, $\int_{-2}^2 |\sin x| dx = 2 \int_0^2 \sin x dx = 2 [-\cos

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$2$

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(B) मान लीजिए $I = \int_{-2}^2 (|\sin x| + [x \sin x]) dx$. चूँकि $|\sin x|$ एक सम फलन है, $\int_{-2}^2 |\sin x| dx = 2 \int_0^2 \sin x dx = 2 [-\cos x]_0^2 = 2(1 - \cos 2)$. अब, $f(x) = x \sin x$ पर विचार करें। चूँकि $f(x)$ सम है, $\int_{-2}^2 [x \sin x] dx = 2 \int_0^2 [x \sin x] dx$. $x \in [0, 2]$ के लिए, $x \sin x$ का मान $0$ से $2 \sin 2 \approx 1.818$ तक बढ़ता है। अतः, $[x \sin x] = 0$ जब $x \in [0, x_0)$ जहाँ $x_0 \sin x_0 = 1$, और $[x \sin x] = 1$ जब $x \in [x_0, 2]$। इसलिए, $2 \int_0^2 [x \sin x] dx = 2 \int_{x_0}^2 1 dx = 2(2 - x_0) = 4 - 2x_0$. अतः, $I = 2(1 - \cos 2) + 4 - 2x_0 = 2 - 2\cos 2 + 4 - 2x_0 = 2(3 - \cos 2) - 2x_0$. इसकी तुलना $2(3 - \cos 2) + \beta$ से करने पर, हमें $\beta = -2x_0$ प्राप्त होता है। चूँकि $x_0 \sin x_0 = 1$, इसलिए $\beta \sin(\frac{\beta}{2}) = -2x_0 \sin(-x_0) = 2x_0 \sin x_0 = 2(1) = 2$.

मान लीजिए $\int_{-2}^{2} (|\sin x| + [x \sin x]) dx = 2(3 - \cos 2) + \beta$, जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है। तो $\beta \sin(\frac{\beta}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए:

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