ધારો કે int_{-2}^{2} (|sin x| + [x sin x]) dx | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \int_{-2}^2 (|\sin x| + [x \sin x]) dx$. કારણ કે $|\sin x|$ એ યુગ્મ વિધેય છે, $\int_{-2}^2 |\sin x| dx = 2 \int_0^2 \sin x dx = 2 [-\

Vedclass · Accepted Answer

$2$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \int_{-2}^2 (|\sin x| + [x \sin x]) dx$. કારણ કે $|\sin x|$ એ યુગ્મ વિધેય છે, $\int_{-2}^2 |\sin x| dx = 2 \int_0^2 \sin x dx = 2 [-\cos x]_0^2 = 2(1 - \cos 2)$. હવે, $f(x) = x \sin x$ લો. કારણ કે $f(x)$ યુગ્મ છે, $\int_{-2}^2 [x \sin x] dx = 2 \int_0^2 [x \sin x] dx$. $x \in [0, 2]$ માટે, $x \sin x$ એ $0$ થી $2 \sin 2 \approx 1.818$ સુધી વધે છે. તેથી, $[x \sin x] = 0$ જ્યારે $x \in [0, x_0)$ જ્યાં $x_0 \sin x_0 = 1$, અને $[x \sin x] = 1$ જ્યારે $x \in [x_0, 2]$. તેથી, $2 \int_0^2 [x \sin x] dx = 2 \int_{x_0}^2 1 dx = 2(2 - x_0) = 4 - 2x_0$. આમ, $I = 2(1 - \cos 2) + 4 - 2x_0 = 2 - 2\cos 2 + 4 - 2x_0 = 2(3 - \cos 2) - 2x_0$. આને $2(3 - \cos 2) + \beta$ સાથે સરખાવતા, આપણને $\beta = -2x_0$ મળે છે. $x_0 \sin x_0 = 1$ આપેલ હોવાથી, $\beta \sin(\frac{\beta}{2}) = -2x_0 \sin(-x_0) = 2x_0 \sin x_0 = 2(1) = 2$.

ધારો કે $\int_{-2}^{2} (|\sin x| + [x \sin x]) dx = 2(3 - \cos 2) + \beta$, જ્યાં $[\cdot]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે. તો $\beta \sin(\frac{\beta}{2})$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

ધારો કે $M = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{x+2} dx$ અને $N = \int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin x \cos x}{(x+1)^{2}} dx$ છે. તો, $(M - N)$ ની કિંમત શોધો.

$\int\limits_0^{\pi / 2n} \frac{dx}{1 + \tan^n(nx)} = $

$I_n = \int_{1}^{e} (\ln x)^n dx$,જ્યાં $n \in N$ માટે,નીચેનામાંથી કયો સંબંધ સાચો છે?

$\int_0^{\pi / 2} \frac{(\cos x)^{\sin x}}{(\cos x)^{\sin x}+(\sin x)^{\cos x}} d x$ નું મૂલ્ય શું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module