I_n = int_{1}^{e} (ln x)^n dx,જ્યાં n in N મા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે કે $I_n = \int_{1}^{e} (\ln x)^n dx$. ખંડશઃ સંકલન (integration by parts) નો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $u = (\ln x)^n$ અને $dv = dx$. તેથી $du = n

Vedclass · Accepted Answer

$I_{n + 1} + (n + 1) I_n = e$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે કે $I_n = \int_{1}^{e} (\ln x)^n dx$. ખંડશઃ સંકલન (integration by parts) નો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $u = (\ln x)^n$ અને $dv = dx$. તેથી $du = n(\ln x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} dx$ અને $v = x$ મળે. $I_n = [x(\ln x)^n]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \cdot n(\ln x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} dx$. $I_n = (e(\ln e)^n - 1(\ln 1)^n) - n \int_{1}^{e} (\ln x)^{n-1} dx$. કારણ કે $\ln e = 1$ અને $\ln 1 = 0$,તેથી $I_n = e - n I_{n-1}$ મળે. $n$ ને બદલે $n+1$ મૂકતા,આપણને $I_{n+1} = e - (n+1) I_n$ મળે છે. પદોને ગોઠવતા,$I_{n+1} + (n+1) I_n = e$ મળે છે.

$I_n = \int_{1}^{e} (\ln x)^n dx$,જ્યાં $n \in N$ માટે,નીચેનામાંથી કયો સંબંધ સાચો છે?

Similar Questions

સંકલન $\int_{0}^{\pi / 2} (\sin^{100} x - \cos^{100} x) dx$ ની કિંમત છે

$\int_{-1}^1 \left(\sqrt{1+x+x^2} - \sqrt{1-x+x^2}\right) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int\limits_{ - a}^a {f(x)\,dx} = $

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\tan x} \, dx =$

$\int_{0}^{1} \frac{\log (1+x)}{1+x^{2}} d x$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module