$(i)$ तरंग $y(x, t) = 0.06 \sin \left(\frac{2 \pi}{3} x\right) \cos (120 \pi t)$ के लिए,जहाँ $x$ और $y$ $m$ में हैं और $t$ $s$ में है। डोरी की लंबाई $1.5 \, m$ है और इसका द्रव्यमान $3.0 \times 10^{-2} \, kg$ है। क्या डोरी के सभी बिंदु समान $(a)$ आवृत्ति,$(b)$ कला,$(c)$ आयाम के साथ दोलन करते हैं? अपने उत्तरों की व्याख्या करें।
$(ii)$ एक सिरे से $0.375 \, m$ दूर स्थित बिंदु का आयाम क्या है?

(N/A) $(i)$ दिया गया समीकरण एक अप्रगामी तरंग (standing wave) को दर्शाता है।
$(a)$ हाँ,डोरी के सभी बिंदु $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{120\pi}{2\pi} = 60 \, Hz$ की समान आवृत्ति के साथ दोलन करते हैं,सिवाय निस्पंद बिंदुओं (nodes) के जहाँ आयाम शून्य होता है।
$(b)$ नहीं,सभी बिंदु समान कला में दोलन नहीं करते हैं। एक ही लूप के भीतर के बिंदु समान कला में दोलन करते हैं,लेकिन आसन्न लूप के बिंदु $\pi$ रेडियन के कला अंतर के साथ दोलन करते हैं।
$(c)$ नहीं,सभी बिंदु समान आयाम के साथ दोलन नहीं करते हैं। $x$ स्थिति पर एक बिंदु का आयाम $A(x) = 0.06 \sin \left(\frac{2\pi}{3} x\right)$ द्वारा दिया जाता है,जो स्थिति $x$ पर निर्भर करता है।
$(ii)$ $x = 0.375 \, m$ पर स्थित बिंदु का आयाम है:
$A = 0.06 \sin \left(\frac{2\pi}{3} \times 0.375\right)$
$A = 0.06 \sin \left(\frac{2\pi}{3} \times \frac{3}{8}\right)$
$A = 0.06 \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)$
$A = 0.06 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.0424 \, m$.