क्या पृथ्वी से प्रक्षेपित किए जाने वाले रॉकेट को शुरुआत में $11.2 \, km/s$ की गति देना आवश्यक है?

पृथ्वी की सतह से पलायन वेग $v$ है। पृथ्वी की तुलना में चार गुना त्रिज्या और समान द्रव्यमान घनत्व वाले दूसरे ग्रह की सतह से पलायन वेग क्या होगा?

नीचे दो कथन दिए गए हैं: एक को अभिकथन $A$ और दूसरे को कारण $R$ के रूप में लेबल किया गया है।
अभिकथन $A :$ ग्रह $A$ और $B$ के पलायन वेग समान हैं। लेकिन $A$ और $B$ के द्रव्यमान असमान हैं।
कारण $R :$ उनके द्रव्यमान और त्रिज्या का गुणनफल समान होना चाहिए,$M_{1}R_{1} = M_{2}R_{2}$।
उपरोक्त कथनों के आलोक में,नीचे दिए गए विकल्पों में से सबसे उपयुक्त उत्तर चुनें।

ग्रह $A$ पर एक पिंड का पलायन वेग $12 \, km/s$ है। दूसरे ग्रह $B$ पर उस पिंड का पलायन वेग क्या होगा,जिसका घनत्व ग्रह $A$ से चार गुना और त्रिज्या आधी है?

एक गोली को एक गोलाकार ग्रह की सतह से $v$ वेग के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर दागा जाता है। जब यह अपनी अधिकतम ऊँचाई पर पहुँचती है,तो ग्रह के गुरुत्वाकर्षण के कारण इसका त्वरण सतह पर इसके मान का $1/4$ होता है। यदि ग्रह से पलायन वेग $v_{esc} = v \sqrt{N}$ है,तो $N$ का मान ज्ञात कीजिए (वायुमंडल के कारण ऊर्जा हानि को अनदेखा करें)।

मान लीजिए कि किसी ग्रह की सतह पर रखे गए पिंड का पलायन वेग $u$ है। यदि इसे पलायन वेग से $200 \%$ अधिक गति से प्रक्षेपित किया जाता है,तो अंतरतारकीय अंतरिक्ष में इसकी गति क्या होगी?