$(a)$ જેમ જેમ વાતાવરણમાં ઉપર જઈએ તેમ દબાણ ઘટે છે. જો હવાની ઘનતા $\rho$ હોય,તો સૂક્ષ્મ ઊંચાઈ $dh$ માટે દબાણમાં થતો ફેરફાર $dp$ કેટલો હશે?
$(b)$ દબાણ $P$ એ ઘનતાના સમપ્રમાણમાં છે તેમ માનીને,જો પૃથ્વીની સપાટી પર દબાણ $P_{0}$ હોય,તો $h$ ઊંચાઈએ દબાણ $P$ શોધો.
$(c)$ જો $P_{0} = 1.03 \times 10^5 \text{ N/m}^2$,$\rho_0 = 1.29 \text{ kg/m}^3$,અને $g = 9.8 \text{ m/s}^2$ હોય,તો કેટલી ઊંચાઈએ દબાણ પૃથ્વીની સપાટીના દબાણના $\frac{1}{10}$ ભાગનું થઈ જશે?
$(d)$ વાતાવરણનું આ મોડેલ પ્રમાણમાં નાની ઊંચાઈ માટે કામ કરે છે. આ મોડેલને મર્યાદિત કરતી પૂર્વધારણા જણાવો.

(N/A) હવા ઉપરના સ્તરોમાં ઓછી ઘટ્ટ હોવાથી દબાણ પણ ઓછું હોય છે.
$(a)$ $A$ આડછેદ અને $dh$ ઊંચાઈ ધરાવતો હવાનો એક સમક્ષિતિજ ભાગ ધ્યાનમાં લો. ઉપરની સપાટી પર દબાણ $P$ અને નીચેની સપાટી પર $P + dP$ છે. જો આ ભાગ સંતુલનમાં હોય,તો ચોખ્ખું ઉર્ધ્વ બળ તેના વજન દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
$(P + dP)A - PA = -mg$ (જ્યાં દળ = કદ $\times$ ઘનતા)
$(dP)A = -\rho(A dh)g$
$dp = -\rho g dh$ ... $(1)$
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ઊંચાઈ વધતા દબાણ ઘટે છે.
$(b)$ પૃથ્વીની સપાટી પર હવાની ઘનતા $\rho_0$ છે. આપેલ છે કે $P \propto \rho$,તેથી $\frac{P}{P_0} = \frac{\rho}{\rho_0}$,એટલે કે $\rho = \left(\frac{P}{P_0}\right)\rho_0$ ... $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$dP = -\left(\frac{P}{P_0}\right)\rho_0 g dh$
$\frac{dP}{P} = -\frac{\rho_0 g}{P_0} dh$
બંને બાજુ $0$ થી $h$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{P_0}^{P} \frac{dP}{P} = -\frac{\rho_0 g}{P_0} \int_{0}^{h} dh$
$\ln\left(\frac{P}{P_0}\right) = -\frac{\rho_0 g h}{P_0}$
$P = P_0 e^{-\frac{\rho_0 g h}{P_0}}$
$(c)$ આપેલ છે $P = \frac{P_0}{10}$,તેથી $\ln\left(\frac{1}{10}\right) = -\frac{\rho_0 g h}{P_0}$
$h = \frac{P_0 \ln(10)}{\rho_0 g} = \frac{1.03 \times 10^5 \times 2.303}{1.29 \times 9.8} \approx 18750 \text{ m} \approx 18.75 \text{ km}$.
$(d)$ આ મોડેલની પૂર્વધારણા એ છે કે હવાની ઘનતા દબાણના સમપ્રમાણમાં છે,જે સમતાપી વાતાવરણ (અચળ તાપમાન) સૂચવે છે,જ્યારે વાસ્તવિક વાતાવરણનું તાપમાન ઊંચાઈ સાથે બદલાય છે.