यदि ^{n - 1}C_r = (k^2 - 3) cdot ^nC_{r + 1} | vedclass

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Question

(D) दिया गया समीकरण: $^{n - 1}C_r = (k^2 - 3) \cdot ^nC_{r + 1}$.सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करते हुए,दोनों पक्षों का विस्तार करने पर

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$(\sqrt{3}, 2)$

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(D) दिया गया समीकरण: $^{n - 1}C_r = (k^2 - 3) \cdot ^nC_{r + 1}$.सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करते हुए,दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:$\frac{(n - 1)!}{r!(n - r - 1)!} = (k^2 - 3) \cdot \frac{n!}{(r + 1)!(n - r - 1)!}$.दोनों पक्षों से सामान्य पदों $(n - r - 1)!$ और $(n - 1)!$ को हटाने पर:$1 = (k^2 - 3) \cdot \frac{n}{r + 1}$.$k^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:$k^2 - 3 = \frac{r + 1}{n} \Rightarrow k^2 = \frac{r + 1}{n} + 3$.चूंकि $0 \le r \le n - 1$,इसलिए $1 \le r + 1 \le n$ होता है,जिसका अर्थ है $\frac{1}{n} \le \frac{r + 1}{n} \le 1$.अतः,$k^2 \in [\frac{1}{n} + 3, 4]$.$n \ge 2$ के लिए,$k^2$ का परिसर $(3, 4]$ है।वर्गमूल लेने पर,$k \in [-2, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, 2]$ प्राप्त होता है।दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,अंतराल $(\sqrt{3}, 2)$ सही उपसमुच्चय है।

यदि $^{n - 1}C_r = (k^2 - 3) \cdot ^nC_{r + 1}$ है,तो $k \in$

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