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Question

(A) माना सामान्य पद $a_n = \frac{6\sum_{i=0}^n i + 1}{6\sum_{j=0}^n (j-1) + 1}$ है।योगफल सूत्रों $\sum_{i=0}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum_{j=0}^n

Vedclass · Accepted Answer

$331$

Vedclass · Answer

(A) माना सामान्य पद $a_n = \frac{6\sum_{i=0}^n i + 1}{6\sum_{j=0}^n (j-1) + 1}$ है।योगफल सूत्रों $\sum_{i=0}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum_{j=0}^n (j-1) = \frac{n(n+1)}{2} - (n+1) = \frac{(n+1)(n-2)}{2}$ का उपयोग करने पर।अंश $6 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 1 = 3n^2 + 3n + 1$ है।हर $6 \cdot \frac{(n+1)(n-2)}{2} + 1 = 3n^2 - 3n + 1$ है।अतः पद $\frac{3n^2+3n+1}{3n^2-3n+1}$ बनता है।$n=1$ के लिए: $\frac{7}{1}$,$n=2$ के लिए: $\frac{19}{7}$,$n=3$ के लिए: $\frac{37}{19}$।यह एक टेलीस्कोपिंग गुणनफल है: $\prod_{n=1}^{10} \frac{f(n)}{f(n-1)}$ जहाँ $f(n) = 3n^2+3n+1$ है।गुणनफल $\frac{f(10)}{f(0)} = \frac{331}{1} = 331$ प्राप्त होता है।

$\prod\limits_{n = 1}^{10} {\left( {\frac{{\left( {6\sum\limits_{i = 0}^n i } \right) + 1}}{{\left( {6\sum\limits_{j = 0}^n {(j - 1)} } \right) + 1}}} \right)} $ का मान ज्ञात कीजिए।

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