$A, B$ અને $C$ એ વર્તુળ પરના ત્રણ બિંદુઓ છે. સાબિત કરો કે $AB, BC$ અને $CA$ ના લંબદ્વિભાજકો સંગામી છે.

(N/A) આપેલ છે: ત્રણ અસમરેખ બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ એક વર્તુળ પર આવેલા છે.
સાબિત કરવાનું છે: $AB, BC$ અને $CA$ ના લંબદ્વિભાજકો સંગામી છે.
રચના: $AB, BC$ અને $CA$ ને જોડો. $AB$ નો લંબદ્વિભાજક $ST$,$BC$ નો લંબદ્વિભાજક $PM$ અને $CA$ નો લંબદ્વિભાજક $QR$ દોરો. બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ અસમરેખ હોવાથી,રેખાઓ $ST, PM$ અને $QR$ સમાંતર નથી અને તે કોઈ બિંદુ $O$ પર છેદશે.
સાબિતી:
$1$. બિંદુ $O$ એ $ST$ પર આવેલું છે,જે $AB$ નો લંબદ્વિભાજક છે,તેથી $OA = OB$ (રેખાખંડના લંબદ્વિભાજક પરનું કોઈપણ બિંદુ તેના અંત્યબિંદુઓથી સમાન અંતરે હોય છે) ... $(1)$
$2$. તેવી જ રીતે,$O$ એ $PM$ પર આવેલું છે,જે $BC$ નો લંબદ્વિભાજક છે,તેથી $OB = OC$ ... $(2)$
$3$. વળી,$O$ એ $QR$ પર આવેલું છે,જે $CA$ નો લંબદ્વિભાજક છે,તેથી $OC = OA$ ... $(3)$
$(1)$,$(2)$ અને $(3)$ પરથી,આપણને $OA = OB = OC = r$ મળે છે (જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે).
આ સૂચવે છે કે $O$ એ $A, B$ અને $C$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. ત્રિકોણની બાજુઓના લંબદ્વિભાજકો એક અનન્ય બિંદુ (પરિકેન્દ્ર) પર છેદતા હોવાથી,$AB, BC$ અને $CA$ ના લંબદ્વિભાજકો બિંદુ $O$ પર સંગામી હોવા જોઈએ.