$A, B$ और $C$ एक वृत्त पर तीन बिंदु हैं। सिद्ध कीजिए कि $AB, BC$ और $CA$ के लंब समद्विभाजक संगामी हैं।

(N/A) दिया है: तीन असंरेख बिंदु $A, B$ और $C$ एक वृत्त पर स्थित हैं।
सिद्ध करना है: $AB, BC$ और $CA$ के लंब समद्विभाजक संगामी हैं।
रचना: $AB, BC$ और $CA$ को मिलाइए। $AB$ का लंब समद्विभाजक $ST$,$BC$ का लंब समद्विभाजक $PM$ और $CA$ का लंब समद्विभाजक $QR$ खींचिए। चूंकि बिंदु $A, B$ और $C$ असंरेख हैं,इसलिए रेखाएँ $ST, PM$ और $QR$ समांतर नहीं हैं और किसी बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करेंगी।
उपपत्ति:
$1$. चूंकि बिंदु $O, ST$ पर स्थित है,जो $AB$ का लंब समद्विभाजक है,इसलिए $OA = OB$ (लंब समद्विभाजक पर स्थित कोई भी बिंदु रेखाखंड के अंत बिंदुओं से समान दूरी पर होता है) ... $(1)$
$2$. इसी प्रकार,चूंकि $O, PM$ पर स्थित है,जो $BC$ का लंब समद्विभाजक है,इसलिए $OB = OC$ ... $(2)$
$3$. साथ ही,चूंकि $O, QR$ पर स्थित है,जो $CA$ का लंब समद्विभाजक है,इसलिए $OC = OA$ ... $(3)$
$(1)$,$(2)$ और $(3)$ से,हमें $OA = OB = OC = r$ प्राप्त होता है (जहाँ $r$ त्रिज्या है)।
यह दर्शाता है कि $O, A, B$ और $C$ से गुजरने वाले वृत्त का केंद्र है। चूंकि एक त्रिभुज की भुजाओं के लंब समद्विभाजक एक अद्वितीय बिंदु (परिकेंद्र) पर प्रतिच्छेद करते हैं,इसलिए $AB, BC$ और $CA$ के लंब समद्विभाजक बिंदु $O$ पर संगामी होने चाहिए।