આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ સંગતતા $ABC \leftrightarrow PQR$ માટે છે. $\overline{AD}$ એ $\Delta ABC$ માં મધ્યગા છે અને $\overline{PM}$ એ $\Delta PQR$ માં મધ્યગા છે. સાબિત કરો કે $\frac{AD}{PM} = \frac{AB}{PQ}.$

(N/A) આપેલ છે: $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ સંગતતા $ABC \leftrightarrow PQR$ માટે. $\overline{AD}$ અને $\overline{PM}$ એ અનુક્રમે $\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ ની મધ્યગાઓ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\frac{AD}{PM} = \frac{AB}{PQ}.$
સાબિતી:
$1$. $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓ સમપ્રમાણમાં હોય અને અનુરૂપ ખૂણાઓ એકરૂપ હોય.
$\therefore \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR}$ અને $\angle B \cong \angle Q \quad \dots (1)$
$2$. $\overline{AD}$ અને $\overline{PM}$ મધ્યગાઓ હોવાથી,$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $M$ એ $QR$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$BC = 2BD$ અને $QR = 2QM.$
$3$. આ કિંમતો સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{2BD}{2QM} = \frac{BD}{QM} \quad \dots (2)$
$4$. $\Delta ABD$ અને $\Delta PQM$ માં:
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$\angle B \cong \angle Q.$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$\frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM}.$
$5$. $SAS$ (બાખૂબા) સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABD \sim \Delta PQM.$
$6$. ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓ સમપ્રમાણમાં હોય:
$\therefore \frac{AD}{PM} = \frac{AB}{PQ}.$ આમ સાબિત થાય છે.