यदि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ संगतता $ABC \leftrightarrow PQR$ के अंतर्गत है। यदि $AB = 12$,$\text{Area}(\Delta ABC) = 36$ और $\text{Area}(\Delta PQR) = 64$ है,तो $PQ = \ldots$

$\Delta ABC$ में,$\angle A$ का समद्विभाजक $\overline{BC}$ को $D$ पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि $BD = \frac{BC \times AB}{AB + AC}$ और $DC = \frac{BC \times AC}{AB + AC}$।

$\Delta ABC$ में,$m\angle B = 90^\circ$ और $\overline{BM}$ कर्ण $\overline{AC}$ पर एक शीर्षलंब (altitude) है। निम्नलिखित सिद्ध कीजिए:
$(i)$ संगति $AMB \leftrightarrow ABC$ एक समरूपता है।
(ii) संगति $BMC \leftrightarrow ABC$ एक समरूपता है।
(iii) संगति $AMB \leftrightarrow BMC$ एक समरूपता है।

आकृति में,$l \parallel m$ है और रेखाखंड $AB, CD$ और $EF$ बिंदु $P$ पर संगामी हैं। सिद्ध कीजिए कि $\frac{AE}{BF} = \frac{AC}{BD} = \frac{CE}{FD}$।

$\Delta ABC$ में,$D$,$E$ और $F$ क्रमशः $\overline{BC}$,$\overline{CA}$ और $\overline{AB}$ के मध्य-बिंदु हैं। तो,$\text{Area}(BDEF) = \ldots \times \text{Area}(\Delta ABC)$।

$\Delta PQR$ में,$m \angle Q : m \angle R : m \angle P = 1 : 2 : 1$ है। यदि $PQ = 2 \sqrt{6}$ है,तो $PR = \ldots$