यदि int_{0}^{100 pi} frac{sin ^{2} x}{e^{left | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{0}^{100 \pi} \frac{\sin ^{2} x}{e^{\left(\frac{x}{\pi}-\left[\frac{x}{\pi}\right]\right)}} d x$. चूंकि फलन $f(x) = \frac{\sin^2 x}

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$200(1-e^{-1})$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int_{0}^{100 \pi} \frac{\sin ^{2} x}{e^{\left(\frac{x}{\pi}-\left[\frac{x}{\pi}\right]\right)}} d x$. चूंकि फलन $f(x) = \frac{\sin^2 x}{e^{\left(\frac{x}{\pi}-\left[\frac{x}{\pi}\right]\right)}}$ का आवर्तकाल $\pi$ है,इसलिए $I = 100 \int_{0}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{e^{x/\pi}} dx$. $I = 100 \int_{0}^{\pi} e^{-x/\pi} \left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right) dx = 50 \left[ \int_{0}^{\pi} e^{-x/\pi} dx - \int_{0}^{\pi} e^{-x/\pi} \cos 2x dx \right]$. माना $I_1 = \int_{0}^{\pi} e^{-x/\pi} dx = [-\pi e^{-x/\pi}]_0^{\pi} = \pi(1-e^{-1})$. माना $I_2 = \int_{0}^{\pi} e^{-x/\pi} \cos 2x dx$. खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$I_2 = [-\pi e^{-x/\pi} \cos 2x]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} \pi e^{-x/\pi} (2 \sin 2x) dx = \pi(1-e^{-1}) - 2\pi \int_0^{\pi} e^{-x/\pi} \sin 2x dx$. दूसरे भाग का पुनः समाकलन करने पर,$\int_0^{\pi} e^{-x/\pi} \sin 2x dx = [-\pi e^{-x/\pi} \sin 2x]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} \pi e^{-x/\pi} (2 \cos 2x) dx = 2\pi I_2$. अतः,$I_2 = \pi(1-e^{-1}) - 2\pi(2\pi I_2) = \pi(1-e^{-1}) - 4\pi^2 I_2$. $I_2(1+4\pi^2) = \pi(1-e^{-1}) \implies I_2 = \frac{\pi(1-e^{-1})}{1+4\pi^2}$. मान प्रतिस्थापित करने पर,$I = 50 [\pi(1-e^{-1}) - \frac{\pi(1-e^{-1})}{1+4\pi^2}] = 50 \pi(1-e^{-1}) [\frac{4\pi^2}{1+4\pi^2}] = \frac{200(1-e^{-1})\pi^3}{1+4\pi^2}$. $\frac{\alpha \pi^3}{1+4\pi^2}$ से तुलना करने पर,$\alpha = 200(1-e^{-1})$ प्राप्त होता है।

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यदि $f(x) = \frac{e^x}{1 + e^x}$,$I_1 = \int_{f(-a)}^{f(a)} x g\{x(1 - x)\} dx$,और $I_2 = \int_{f(-a)}^{f(a)} g\{x(1 - x)\} dx$ है,तो $\frac{I_2}{I_1}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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