समाकलन int_0^pi frac{(x+3) sin x}{1+3 cos ^2 | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_0^\pi \frac{(x+3) \sin x}{1+3 \cos^2 x} dx$. गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^\pi \fra

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$\frac{\pi}{3 \sqrt{3}}(\pi+6)$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int_0^\pi \frac{(x+3) \sin x}{1+3 \cos^2 x} dx$. गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x+3) \sin(\pi-x)}{1+3 \cos^2(\pi-x)} dx = \int_0^\pi \frac{(\pi-x+3) \sin x}{1+3 \cos^2 x} dx$. $I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $2I = \int_0^\pi \frac{(x+3+\pi-x+3) \sin x}{1+3 \cos^2 x} dx = \int_0^\pi \frac{(\pi+6) \sin x}{1+3 \cos^2 x} dx$. गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ का उपयोग करने पर: $2I = 2(\pi+6) \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{1+3 \cos^2 x} dx$. $I = (\pi+6) \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{1+3 \cos^2 x} dx$. माना $\sqrt{3} \cos x = t$,तब $-\sqrt{3} \sin x dx = dt$,अर्थात $\sin x dx = -\frac{dt}{\sqrt{3}}$. जब $x=0, t=\sqrt{3}$ और जब $x=\pi/2, t=0$. $I = (\pi+6) \int_{\sqrt{3}}^0 \frac{-dt/\sqrt{3}}{1+t^2} = \frac{\pi+6}{\sqrt{3}} \int_0^{\sqrt{3}} \frac{dt}{1+t^2}$. $I = \frac{\pi+6}{\sqrt{3}} [	an^{-1} t]_0^{\sqrt{3}} = \frac{\pi+6}{\sqrt{3}} (	an^{-1} \sqrt{3} - 	an^{-1} 0) = \frac{\pi+6}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi(\pi+6)}{3\sqrt{3}}$.

समाकलन $\int_0^\pi \frac{(x+3) \sin x}{1+3 \cos ^2 x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए:

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