$(a)$ સાબિત કરો કે $10$ સાથે સાપેક્ષ અવિભાજ્ય દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે,એક એવી પ્રાકૃતિક સંખ્યા $m$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેના બધા અંકો $1$ હોય અને $n$ એ $m$ ને ભાગે છે.
$(b)$ આના પરથી અથવા અન્ય રીતે સાબિત કરો કે દરેક ધન સંમેય સંખ્યાને અમુક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $a, b, c$ માટે $\frac{a}{10^b(10^c-1)}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.

(D) ધારો કે $n$ એક એવી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે કે જેથી $\gcd(n, 10) = 1$. $n+1$ સંખ્યાઓની શ્રેણી $m_k = \frac{10^k-1}{9}$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $k = 1, 2, \dots, n+1$. કબૂતરખાનાના સિદ્ધાંત (Pigeonhole Principle) મુજબ,આમાંથી ઓછામાં ઓછી બે સંખ્યાઓ,ધારો કે $m_i$ અને $m_j$ $(i < j)$,ને $n$ વડે ભાગતા સમાન શેષ મળે. તેથી,$n$ એ $m_j - m_i = 11\dots100\dots0 = 11\dots1 \times 10^i$ ને ભાગે છે. $\gcd(n, 10) = 1$ હોવાથી,$\gcd(n, 10^i) = 1$ થાય,તેથી $n$ એ $m_{j-i}$ ને ભાગવું જ પડે,જે ફક્ત $1$ અંકો ધરાવે છે.
$(b)$ ધારો કે સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ છે. આપણે $q = 2^r \cdot 5^s \cdot t$ લખી શકીએ,જ્યાં $\gcd(t, 10) = 1$. ભાગ $(a)$ પરથી,$1$ અંકો ધરાવતી એવી સંખ્યા $m$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે $t \mid m$. ધારો કે $m = \frac{10^c-1}{9}$. તો $9m = 10^c-1$. $t \mid m$ હોવાથી,$t \mid (10^c-1)$ થાય. ધારો કે $10^c-1 = kt$. આપણે $b = \max(r, s)$ પસંદ કરી શકીએ. તો $10^b$ એ $2^r$ અને $5^s$ વડે વિભાજ્ય છે. આમ,$10^b(10^c-1)$ એ $2^r \cdot 5^s \cdot t = q$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,$\frac{p}{q} = \frac{p \cdot \frac{10^b(10^c-1)}{q}}{10^b(10^c-1)} = \frac{a}{10^b(10^c-1)}$ કોઈ પૂર્ણાંક $a$ માટે.