$2$ इकाई लंबाई के एक तार को दो भागों में काटा जाता है,जिन्हें मोड़कर क्रमशः $x$ इकाई भुजा वाला एक वर्ग और $r$ त्रिज्या वाला एक वृत्त बनाया जाता है। यदि इस प्रकार बने वर्ग और वृत्त के क्षेत्रफलों का योग न्यूनतम है,तो:

फलन $f(x) = ax + \frac{b}{x}$ जहाँ $a, b, x > 0$ है,का न्यूनतम मान $x$ के किस मान पर प्राप्त होता है?

अंतराल $0 \leq x \leq 1$ के लिए फलन $f(x) = [x(x-1) + 1]^{\frac{1}{3}}$ का अधिकतम मान . . . . . . है।

वक्र $y = 2x^3 + ax^2 + bx + c$ मूलबिंदु से होकर गुजरता है,और $x = -1$ तथा $x = 2$ पर स्पर्श रेखाएं $X$-अक्ष के समानांतर हैं। तो $a, b$ और $c$ के मान क्रमशः ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = x \sin \pi x$,$x > 0$ है। तो सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए,$f^{\prime}(x)$ कहाँ शून्य होता है?
$(A)$ अंतराल $\left(n, n+\frac{1}{2}\right)$ में एक अद्वितीय बिंदु पर
$(B)$ अंतराल $\left(n+\frac{1}{2}, n+1\right)$ में एक अद्वितीय बिंदु पर
$(C)$ अंतराल $(n, n+1)$ में एक अद्वितीय बिंदु पर
$(D)$ अंतराल $(n, n+1)$ में दो बिंदुओं पर

फलन $f(x) = x e^{-x}, \forall x \in R$ का अधिकतम मान $x$ के किस मान पर प्राप्त होता है?