int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}} left(x^2 + l | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(x^2 + \log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cdot \cos x\right) dx$. સંકલનને બે ભાગમાં વિ

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi^3}{12}$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(x^2 + \log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cdot \cos x\right) dx$. સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરો: $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^2 dx + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cdot \cos x dx$. ધારો કે $f(x) = \log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cdot \cos x$. તો $f(-x) = \log \left(\frac{\pi-(-x)}{\pi+(-x)}\right) \cdot \cos(-x) = \log \left(\frac{\pi+x}{\pi-x}\right) \cdot \cos x = \log \left(\left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right)^{-1}\right) \cdot \cos x = -\log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cdot \cos x = -f(x)$. જેથી $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે,તેથી $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx = 0$. આમ,$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^2 dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 dx = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2 \cdot \frac{(\pi/2)^3}{3} = 2 \cdot \frac{\pi^3}{8 \cdot 3} = \frac{\pi^3}{12}$.

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(x^2 + \log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cdot \cos x\right) dx =$

Similar Questions

ધારો કે $I = \int_{0}^{100 \pi} \sqrt{1 - \cos 2x} \, dx$, તો

ધારો કે $[t]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક $\leq t$ દર્શાવે છે. તો $\frac{2}{\pi} \int_{\pi/6}^{5\pi/6} (8[\operatorname{cosec} x] - 5[\cot x]) \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_2^4 \frac{\log x^2}{\log x^2+\log (36-12x+x^2)} dx$ ની કિંમત શોધો.

સંકલન $\int \limits_1^3 \left((x-2)^4 \sin^3(x-2) + (x-2)^{2019} + 1\right) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\left|\frac{120}{\pi^3} \int_0^\pi \frac{x^2 \sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x} dx\right|$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module